Gino_Bill έγραψε: ↑Παρ Αύγ 08, 2025 10:05 am
Ο Γκάους λοιπόν ήταν και λίγο τυχερός εκτός από διάννοια. Πολλοί άλλοι μαθηματικοί ήταν μάλλον μπροστά απ’ την εποχή τους (ελάχιστα χαρακτηριστικά παραδείγματα οι Galois,
Cantor και Banach) και αναγνωρίστηκαν μετά θάνατον,
Ευχαριστούμε Bill για την ιστορική αναδρομή, πολύ ωραίο ποστ <3 Ας γράψω 5 πράγματα για τον αγαπημένο μου Cantor μιας και αναφέρθηκε.
Το άπειρο, για τους αρχαίους, ήταν περισσότερο φόβος παρά κάτι που σκέφτονταν να χρησιμοποιήσουν. Ο Αριστοτέλης το ανεχόταν ως "δυνητικό" δηλαδή κάτι που μπορεί να συνεχίζεται χωρίς τέλος, όπως το μέτρημα αλλά απέρριπτε την ιδέα του "πραγματικού απείρου", ενός πλήρους, ολοκληρωμένου συνόλου πέρα από το πεπερασμένο. Για αιώνες, η στάση αυτή επικράτησε και επηρέασε όλη τη δυτική σκέψη. Η χρήση του απείρου ήταν επικίνδυνη, ακόμα και ύβρις.
Μέχρι που ήρθε ο Γκέοργκ Κάντορ.
Ο Κάντορ, στα τέλη του 19ου αιώνα, έκανε το ριζοσπαστικό βήμα να μελετήσει το άπειρο με την ίδια μαθηματική αυστηρότητα που μελετάμε τους φυσικούς αριθμούς (1, 2, 3, ...). Δεν ήταν απλώς μια πρόοδος στην μαθηματική επιστήμη αλλά ήταν μια εντελώς διαφορετική θεώρηση του κόσμου. Πως το άπειρο είναι πλήρες αντικείμενο λογικής ανάλυσης, πως μπορούμε να συγκρίνουμε μεγέθη απείρων, να τα μετρήσουμε και να τα ταξινομήσουμε.
Οι αριθμοί του Κάντορ (cardinals και τα ordinals για όποιον ενδιαφέρεται) έφεραν στην επιφάνεια την ιδέα ότι υπάρχουν πολλά είδη απείρου, άλλα μεγαλύτερα, άλλα μικρότερα, άλλα πολύ περίεργα. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι "μεγαλύτερο άπειρο" από το αριθμήσιμο άπειρο (τους φυσικούς αριθμούς), και μεταξύ τους ενδέχεται να υπάρχουν ενδιάμεσα μεγέθη ή και όχι, αναλόγως του αξιωματικού συστήματος που αποδέχεται κανείς.
Αυτές οι ιδέες δεν έγιναν δεκτές χωρίς αντίσταση.
Ο Λέοπολντ Κρόνεκερ, δάσκαλος και συνάδελφος του Κάντορ, αρνήθηκε να δεχτεί την ύπαρξη των μη κατασκευάσιμων οντοτήτων. Υποστήριζε πως "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" (ο Θεός έπλασε τους φυσικούς αριθμούς. Όλα τα άλλα είναι έργο του ανθρώπου). Επηρεασμένος από τον Χέγκελ και με την επιπλέον ένταση της μεταστροφής του στον χριστιανισμό, ο Κρόνεκερ φοβόταν ότι η ανεξέλεγκτη χρήση του απείρου οδηγούσε σε φιλοσοφική ασέβεια και μαθηματική αναρχία. Για εκείνον, τα αξιώματα που δεν είχαν κατασκευαστικό περιεχόμενο δεν ανήκαν στα μαθηματικά. Μάλιστα υπάρχουν μαρτυρίες ότι κατηγόρησε τον Κάντορ σαν "τσαρλατάνο" και τον αποκάλεσε "διαφθορέα της νεολαίας" (bonus πόντοι αν θυμάστε ποιος άλλος έχει κατηγορηθεί παρόμοια). Επίσης του έκανε τη ζωή δύσκολη στο να βρει δουλειά.
Ο Κάντορ είχε έντονη φιλοσοφική και θεολογική συνείδηση. Μιλούσε για το "απόλυτο άπειρο" ως μία έννοια που μόνο στον Θεό μπορεί να αποδοθεί. Το άπειρο του Κάντορ δεν ήταν μια κάτι που έβγαλε απλά το μυαλό του αλλά ένα μέσο να συλλάβουμε το ακατανόητο. Μια μαθηματική θεολογία of sorts. Ίσως επηρεασμένος από τον Χέγκελ, οραματιζόταν το απεριόριστο ως το όριο της ανθρώπινης διάνοιας, το σημείο όπου τα μαθηματικά συναντούν τη μεταφυσική.
Ο πόλεμος Κρόνεκερ - Κάντορ δεν ήταν απλώς "μαθηματικός". Είχε να κάνει με ολόκληρες κοσμοθεωρίες. Η σύγκρουση αυτή γέννησε ολόκληρα ρεύματα όπως τον φορμαλισμό του Χίλμπερτ και τον intuitionism του Μπράουερ. Σήμερα, στη σύγχρονη θεωρία συνόλων, θεωρούμε αξιώματα με "μεγάλους cardinals" που υπερβαίνουν κατά πολύ αυτό που ειχε στο μυαλό του ο Κάντορ. Όμως όλα αυτά ξεκίνησαν από ένα φαινομενικά παράλογο ερώτημα: "Υπάρχουν διαφορετικά μεγέθη απείρων;" Ορισμένοι βλέπουν αυτό το φιλοσοφικό ρήγμα σαν ένα είδος χεγκελιανής διαλεκτικής. H θέση του φορμαλισμού (Κάντορ), η αντίθεση του constructivism (με ενοχλεί που δεν έχω λέξη. κατασκευατισμός;) (Κρόνεκερ), και η σύνθεση που έρχεται με τις σύγχρονες προσεγγίσεις όπου παραδεχόμαστε πολλαπλές θεωρίες συνόλων, εξαρτώμενες από τα αξιώματα που υιοθετούμε. Δεν υπάρχει πια "το ένα σωστό σύμπαν" των μαθηματικών. Υπάρχουν πολλά.
Τα ερωτήματα που τέθηκαν τότε όπως τι είναι το άπειρο; τι σημαίνει μαθηματική ύπαρξη; πού τελειώνει η λογική και πού αρχίζει η πίστη; παραμένουν ακόμα σημαντικά αποτελώντας θεμέλια σε κάθε μαθηματικό σύστημα.
Η διαμάχη Κάντορ - Κρόνεκερ δεν ήταν είχε απλά να κάνει με την αφηρημένη έννοια του απείρου. Επηρέασε και εξακολουθεί να επηρεάζει με πολύ χειροπιαστό τρόπο την καρδιά της θεωρίας υπολογισιμότητας και της λογικής. Γιατί εκεί ακριβώς βρίσκεται το ερώτημα "ποια πράγματα μπορούν να περιγραφούν, να κατασκευαστούν, να αποδειχθούν;". Εδώ κάπου μπορεί να μπει σεντόνι για τον Alan Turing και τον Kurt Godel.
Ένα τελευταίο κομμάτι που δένει λίγο αυτό το κομμάτι με κάτι που έγραψα πιο πάνω. Τα Zero-Knowledge Proofs είναι μια απόδειξη που πρέπει να μπορεί να επιβεβαιωθεί χωρίς να αποκαλύψει το περιεχόμενό της. Δηλαδή πρέπει να υπάρχει απόδειξη, αλλά κανείς δεν την βλέπει. Πόσο Καντορικό από τη μία μεριά αλλά και ταυτόχρονα πόσο Κρόνεκερ