Το γραφείο
Όταν ήμουν στο δημοτικό, τα μαθήματά μου τα έκανα στο γραφείο μου, στο δωμάτιό μου. Κι εκεί ο καημένος ο πατέρας μου, έχοντας γυρίσει βράδυ από τη δουλειά, προσπαθούσε να δει αν είχα διαβάσει για την επόμενη μέρα.
Στο τραπέζι υπήρχε ένα ανοιχτό τετράδιο, το μολύβι είχε αρχίσει να αφήνει βαθουλώματα στο χαρτί και ο πατέρας μου καθόταν δίπλα, προσπαθώντας να μου εξηγήσει μια άσκηση. Δεν θυμάμαι καν ποια άσκηση. Κάποια διαίρεση, κάποιο κλάσμα, ίσως μια εξίσωση. Δεν έχει και πολλή σημασία. Όλες είχαν αρχίσει να μοιάζουν μεταξύ τους. Βάλε λίγους αριθμούς, μερικά σύμβολα, τη βεβαιότητα ότι κάπου εκεί μέσα υπήρχε μια σωστή απάντηση που εγώ, προσωπικά, είχα βαλθεί να αποφεύγω.
Ο πατέρας μου εξηγούσε. Εγώ έλεγα ότι κατάλαβα. Μετά κοιτούσα την επόμενη άσκηση και δεν είχα ιδέα τι να κάνω.
"Μα μόλις σου το είπα."
Ναι. Το είχε εξηγήσει. Το είχα ακούσει κιόλας. Απλώς, κάπου στην μικρή απόσταση ανάμεσα στη μία άσκηση και στην επόμενη, η εξήγηση είχε φύγει από το κεφάλι μου και είχε πάει να ζήσει μια καλύτερη ζωή. Μετά εκείνος εκνευριζόταν επειδή πίστευε ότι δεν πρόσεχα. Εγώ εκνευριζόμουν επειδή προσπαθούσα, ή τουλάχιστον έτσι πίστευα, και παρ' όλα αυτά δεν μπορούσα να κάνω κάτι που εκείνος αντιμετώπιζε ως απλό. Όσο εκείνος επέμενε, τόσο εγώ μουλάρωνα. Όσο εγώ εκνευριζόμουν, τόσο εκείνος επέμενε. Ήταν ένα άριστο σύστημα ανατροφοδότησης, αν ο στόχος του συστήματος ήταν να περάσουμε ένα απαίσιο απόγευμα.
Δεν υπάρχει κάποιος κακός σε αυτή την ιστορία. Ο πατέρας μου ήθελε να βοηθήσει το παιδί του. Εγώ ήθελα να τελειώσω τα μαθήματα χωρίς να νιώθω ηλίθιος. Ακόμη και ο δάσκαλος που είχε βάλει τις ασκήσεις κατά πάσα πιθανότητα ήθελε να μάθουμε. Παρ' όλα αυτά, όλοι μαζί καταφέρναμε κάτι εντυπωσιακό! Όσο περισσότερη ώρα αφιερώναμε στα μαθηματικά, τόσο λιγότερο ήθελα να έχω οποιαδήποτε σχέση μαζί τους.
Κάποια στιγμή έβγαλα το προφανές παιδικό συμπέρασμα. Δεν το έχω.
Όχι "δεν κατάλαβα αυτή την άσκηση", "αυτός ο τρόπος εξήγησης δεν με βοήθησε". Δεν το έχω γενικώς. Υπήρχαν παιδιά με μαθηματικό μυαλό και παιδιά σαν εμένα. Τα πρώτα άκουγαν ένα πρόβλημα για έναν βοσκό που έχει 100 κατσίκες και η καθεμία παράγει 2 λίτρα γάλα και από αυτά κρατάμε μόνο το 1,7 και κάτι άναβε μέσα τους και ήξεραν αμέσως τι πρέπει να κάνουν. Εγώ έβλεπα μια εξίσωση και σκεφτόμουν πόση ώρα μπορεί να μείνει ένας άνθρωπος στην τουαλέτα προτού αρχίσουν να τον ψάχνουν.
Ύστερα, ένα καλοκαίρι, βρέθηκε σχεδόν τυχαία ένας δάσκαλος που μου έκανε μάθημα αλλιώς.
Θα ήταν ωραίο για την ιστορία να πω ότι θυμάμαι την πρώτη άσκηση που λύσαμε. Τη στιγμή που άνοιξαν οι ουρανοί και το φως της μαθηματικής αλήθειας έπεσε πάνω στην κεφάλα μου. Δεν τη θυμάμαι. Θυμάμαι όμως τη βασική διαφορά. Όταν έγραψε έναν τύπο, δεν μου είπε απλώς πού βάζουμε τους αριθμούς. Μου έδειξε από πού ήρθε. Όταν έκανα λάθος, δεν διόρθωσε αμέσως την πράξη. Προσπάθησε πρώτα να δει τι είχα σκεφτεί. Και όταν κόλλησα, δεν θεώρησε ότι αυτό τελείωνε τη συζήτηση.
Έκανε συχνά μια ερώτηση που μέχρι τότε δεν είχα συνδέσει ιδιαίτερα με τα μαθηματικά:
"Γιατί;"
Γιατί αλλάζει πρόσημο αυτός ο αριθμός; Γιατί το εμβαδόν βγαίνει έτσι; Γιατί πιστεύεις ότι αυτή η μέθοδος θα δουλέψει και στην επόμενη περίπτωση; Δεν ήταν τύπου ανάκριση. Η απάντηση μπορούσε κάλλιστα να είναι "δεν ξέρω". Μερικές φορές ξεκινούσαμε ακριβώς από εκεί. Δεν έγιναν ξαφνικά όλα εύκολα. Δεν είδα ένα τρίγωνο και άναψε μια καρτουνίστικη λάμπα πάνω από το κεφάλι μου. Έκανα πάλι λάθη (πολλά), ξεχνούσα πράγματα και βαριόμουν ορισμένες ασκήσεις, όπως κάθε φυσιολογικός άνθρωπος που βρίσκεται καλοκαίρι μπροστά σε τετράδιο ενώ έξω συμβαίνει οτιδήποτε άλλο. Άλλαξε όμως κάτι πιο βασικό. Το μπέρδεμα δεν ήταν πια τελική διάγνωση. Μπορούσε να είναι απλώς το σημείο όπου βρισκόμασταν εκείνη τη στιγμή.
Ο αριθμός δεν "περνάει απέναντι"
Στην πρώτη γυμνασίου μάθαμε να λύνουμε εξισώσεις. Δεν θυμάμαι να μας είπε κανείς τι ακριβώς ήταν μια εξίσωση ή γιατί ένας άνθρωπος θα ήθελε να λύσει μία. Θυμάμαι όμως τον κανόνα πως ό,τι περνάει από την άλλη πλευρά αλλάζει πρόσημο. Το (+3) πήγαινε απέναντι και γινόταν (-3). Το (-5) έκανε το αντίστροφο ταξίδι και γινόταν (+5). Όλα αυτά συνέβαιναν με την ψυχρή κανονικότητα Σέρβου συνοριοφύλακα.[^1] Περνάς γραμμή; Αλλάζεις πρόσημο. Επόμενος. Αν ρωτούσες γιατί, συνήθως άκουγες ξανά τον ίδιο κανόνα, λίγο πιο αργά: "Επειδή το μεταφέρουμε στο άλλο μέλος". Αυτό δεν εξηγούσε τίποτα. Περιείχε όμως τη λέξη "μέλος", που ακουγόταν αρκετά επίσημη ώστε να υποθέσεις ότι το πρόβλημα ήταν δικό σου.
Φυσικά, κανένας αριθμός δεν σηκώνεται και περνάει πουθενά. Αν έχουμε x+3=7, αφαιρούμε 3 και από τις δύο πλευρές για να διατηρήσουμε την ισότητα. Το -3 που εμφανίζεται δεξιά είναι το ίχνος αυτής της πράξης. Η συντομογραφία "πάει απέναντι και αλλάζει πρόσημο" είναι χρήσιμη αφού έχεις καταλάβει τι συντομεύει. Αν τη μάθεις πρώτη, μοιάζει με ξόρκι. Και τα ξόρκια έχουν το μειονέκτημα ότι, μόλις η άσκηση πάψει να έχει τη μορφή που αναγνωρίζεις, δεν ξέρεις τι διάολο να κάνεις.
Το ίδιο συμβαίνει παντού. Πάρτε ένα ορθογώνιο και σχεδιάστε μέσα του ένα τρίγωνο. Η βάση του τριγώνου είναι ολόκληρη η κάτω πλευρά του ορθογωνίου και η τρίτη κορυφή ακουμπά κάπου στην πάνω πλευρά. Μπορεί να είναι στη μέση, μπορεί να είναι σχεδόν στη γωνία. Η ερώτηση είναι απλή: τι μέρος του ορθογωνίου καλύπτει το τρίγωνο; Αν αρχίσεις να μετακινείς την πάνω κορυφή, το σχήμα αλλάζει αρκετά ώστε να μην είναι αμέσως φανερό ότι το εμβαδόν μένει ίδιο. Μπορείς να μετρήσεις μερικές περιπτώσεις. Μπορείς να κόψεις χαρτιά. Μπορείς να κάνεις μια εικασία και μετά να προσπαθήσεις να τη βγάλεις λάθος. Κάποια στιγμή κάποιος θα σκεφτεί να τραβήξει μια κάθετη γραμμή από την κορυφή προς τη βάση. Αυτή η γραμμή χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο μικρότερα ορθογώνια. Σε καθένα, η διαγώνιος αφήνει το μισό εμβαδόν από τη μία πλευρά και το μισό από την άλλη. Το αρχικό τρίγωνο, λοιπόν, καλύπτει πάντα το μισό ορθογώνιο.
Μετά μπορούμε να γράψουμε E=(bh)/2. Πολύ χρήσιμος τύπος. Μόνο που η πραγματική "μαθηματική" στιγμή δεν ήταν η αντικατάσταση του b και του h με δύο αριθμούς. Ήταν η στιγμή που κάποιος φαντάστηκε τη βοηθητική γραμμή.
Στο σχολείο συναντάμε συνήθως αυτή την ιστορία ανάποδα. Ο τύπος εμφανίζεται στον πίνακα σαν να υπήρχε από πάντα. Ακολουθεί ένα λυμένο παράδειγμα και μετά δέκα ή είκοσι παραλλαγές του ίδιου πράγματος. Βάση 8, ύψος 5. Βάση 12, ύψος 7. Βάση 3,5 και ύψος 8,5 (αγρίεψαν τα πράγματα τώρα).
Δεν θέλω να πω ότι είναι άχρηστες οι ασκήσεις. Είναι πολύ χρήσιμο να μάθεις να χρησιμοποιείς ένα εργαλείο χωρίς κάθε φορά να χτίζεις ολόκληρη τη θεωρία από το μηδέν. Αλλά αν αυτό είναι όλο το μάθημα, τότε η προπόνηση έχει μασήσει και έχει φτύσει όλο το παιχνίδι από τη διαδικασία. Είναι σαν να μαθαίνεις μουσική αντιγράφοντας νότες, κάνοντας κλίμακες και γράφοντας διαγωνίσματα αρμονίας χωρίς ποτέ να ακούς τραγούδι, να πιάνεις την κιθάρα ή να δοκιμάζεις να φτιάξεις μια μελωδία.[^2]
Αυτό το νοητικό πείραμα το βρίσκουμε στο A Mathematician’s Lament του Paul Lockhart. Φαντάζεται τη μουσική να διδάσκεται όπως διδάσκουμε μαθηματικά. Η σύνθεση θα θεωρούνταν πολύ δύσκολη για τα παιδιά. Η πραγματική μουσική θα ερχόταν αργότερα, ίσως στο πανεπιστήμιο, και μόνο για τους ειδικούς. Στο μεταξύ, οι μαθητές θα περνούσαν χρόνια μαθαίνοντας τους κανόνες της σημειογραφίας, επειδή κάποτε θα τους χρειαστούν και επειδή οι προηγούμενες γενιές υπέφεραν επίσης, άρα υπάρχει παράδοση. Η εικόνα που προκύπτει είναι σκόπιμα γελοία: κανείς δεν θα μπέρδευε τη μουσική με τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε για να τη γράψουμε. Στα μαθηματικά όμως μπερδεύουμε διαρκώς το ίδιο το αντικείμενο με τη γραμματική του. Οι τύποι, οι ορισμοί και οι τεχνικές είναι η γλώσσα. Τα μαθηματικά αρχίζουν όταν υπάρχει κάτι που θέλεις να πεις με αυτή τη γλώσσα.
Καλά, δεν θα ρωτήσουμε τα παιδιά γιατί δεν συγκινούνται από την παραγοντοποίηση τριωνύμου. Αλλά ρε φίλε, δεν τους έδειξες το τραγούδι. Τους έδωσες είκοσι σελίδες παρτιτούρα και τους έκοψες μονάδες επειδή η ουρά σε μία νότα κοίταζε προς τη λάθος πλευρά.
Ο άνθρωπος που "δεν το έχει"
Σε κάθε τάξη υπήρχε ένα παιδί που απαντούσε πριν τελειώσει η ερώτηση. Έκανε γρήγορα πράξεις, θυμόταν όλους τους κανόνες και έβλεπε αμέσως ποιο κόλπο χρειαζόταν η άσκηση. Αυτό ήταν το παιδί με "μαθηματικό μυαλό".
Ίσως πράγματι είχε ιδιαίτερη κλίση· δεν έχουμε όλοι οι άνθρωποι τις ίδιες ευκολίες. Το πρόβλημα ήταν το συμπέρασμα που βγάζαμε για όλους τους υπόλοιπους. Αν δεν ήσουν γρήγορος, αν χρειαζόσουν να σχεδιάσεις κάτι, αν έκανες μια ερώτηση που καθυστερούσε το μάθημα ή αν δοκίμαζες έναν δρόμο που δεν κατέληγε στη λύση, μάλλον δεν ήσουν από αυτούς που "το έχουν". Έτσι μια δυσκολία σε ένα συγκεκριμένο πράγμα μετατρεπόταν σιγά σιγά σε ταυτότητα. Δεν κατάλαβα τα κλάσματα. Δεν είμαι καλός στα μαθηματικά. Στην οικογένειά μας κανείς δεν ήταν καλός στα μαθηματικά. Εγώ είμαι περισσότερο θεωρητικός τύπος. Εγώ είμαι των τεχνών.
Η τελευταία φράση είναι πάντα λίγο αστεία (και λίγο ενοχλητική;). Κανείς δεν λέει με την ίδια άνεση "εγώ δεν καταλαβαίνω παραγράφους, είμαι των εξισώσεων". Αν έλεγες στους φίλους σου ότι δεν μπορείς να βγάλεις νόημα από τρεις προτάσεις στη σειρά, μάλλον δεν θα το αντιμετώπιζαν ως ένα χαριτωμένο σου γνώρισμα. Το "δεν καταλαβαίνω μαθηματικά", αντίθετα, μπορεί να ειπωθεί με περηφάνια, σαν πολιτισμική ταυτότητα ή σαν αλλεργία που σε απαλλάσσει από συγκεκριμένες υποχρεώσεις.
Δεν είναι πως δεν καταλαβαίνω το γιατί, για να σας πω την αλήθεια. Αν έχεις περάσει χρόνια νιώθοντας αργός, εκτεθειμένος ή ανεπαρκής, είναι ανακουφιστικό να αποφασίσεις ότι το αντικείμενο απλώς δεν σου ανήκει. Δεν απέτυχες εσύ. Είσαι άλλος τύπος ανθρώπου. Το ενοχλητικό πρόβλημα όμως είναι ότι αυτή η ταμπέλα κλείνει την πόρτα ακριβώς τη στιγμή που θα μπορούσες να ξαναμπείς με διαφορετικό τρόπο. Και η ταμπέλα δεν γεννιέται μόνο μέσα στο παιδί. Οι ενήλικοι τη μεταφέρουμε χωρίς να το καταλαβαίνουμε. "Μην ανησυχείς, ούτε εγώ ήμουν ποτέ καλός σε αυτά". Λέγεται για παρηγοριά. Το παιδί, όμως, μπορεί να ακούσει κάτι άλλο. Α, αυτό είναι ένα σταθερό χαρακτηριστικό της οικογένειάς μας, όπως το χρώμα των ματιών. Αν δυσκολεύεσαι, απλώς εμφανίστηκε νωρίς.
Μια μελέτη της Erin Maloney και των συνεργατών της παρακολούθησε παιδιά πρώτης και δευτέρας δημοτικού και εξέτασε το άγχος των γονέων τους στα μαθηματικά. Αυτό που βρήκε δεν ήταν απλώς ότι οι αγχωμένοι γονείς είχαν παιδιά με χαμηλότερη επίδοση. Η σχέση εμφανιζόταν κυρίως όταν αυτοί οι γονείς βοηθούσαν συχνά με τις εργασίες στα μαθηματικά. Δηλαδή η βοήθεια, όταν κουβαλούσε μαζί της φόβο και ένταση, μπορούσε να μεταδώσει και κάτι πέρα από τη μέθοδο των τριών.
Αυτό δεν σημαίνει ότι οι γονείς πρέπει να αφήνουν τα παιδιά μόνα τους ούτε ότι μία μελέτη μάς επιτρέπει να καταδικάσουμε κάθε κουβέντα πάνω από ένα τετράδιο. Οι ίδιοι οι ερευνητές μιλούν για σχέση που εξαρτάται από το πόσο συχνά βοηθούν οι γονείς, και τέτοιες μελέτες δεν μετατρέπουν κάθε οικογένεια σε απλό μηχανισμό αιτίας και αποτελέσματος. Δείχνουν όμως κάτι που αναγνωρίζεται εύκολα στην πράξη. Το παιδί δεν μαθαίνει μόνο όσα λες. Μαθαίνει και πώς αναπνέεις όταν εμφανίζεται το πρόβλημα, πόσο γρήγορα περιμένεις απάντηση ή τι μορφασμούς κάνεις όταν ακούς λάθος.
Σε άλλη έρευνα, το υψηλότερο "μαθηματικό άγχος" των εκπαιδευτικών συνδέθηκε με χαμηλότερη επίδοση μαθητών της ένατης τάξης. Μέρος της σχέσης περνούσε από την αντίληψη των μαθητών ότι ο καθηγητής τους δεν πίστευε πως όλοι μπορούσαν να βελτιωθούν στα μαθηματικά. Πάλι, η συσχέτιση δεν αποδεικνύει μια απλή μονόδρομη αιτία. Οι τάξεις είναι πιο μπερδεμένα πράγματα από αυτό. Αλλά οι προσδοκίες φαίνονται σε εκατό μικρές κινήσεις, όπως ποιον ρωτάς, σε ποιον δίνεις δεύτερο χρόνο, ποια λάθη συζητάς και ποια προσπερνάς με εκείνο το "εντάξει, ας δοκιμάσει κανείς άλλος" που καταλαβαίνουν όλοι.
Μια μεγάλη μετα-ανάλυση της Connie Barroso και των συνεργατών της, η οποία συγκέντρωσε αποτελέσματα από πολλές έρευνες, βρήκε σταθερή αρνητική σχέση ανάμεσα στο "μαθηματικό άγχος" και στην επίδοση. Η μετα-ανάλυση δεν μπορεί από μόνη της να μας πει προς ποια κατεύθυνση κινείται αυτή η σχέση. Πιθανότατα κινείται και προς τις δύο. Η δυσκολία γεννά άγχος. Το άγχος πιάνει χώρο στη σκέψη, κάνει την αποτυχία πιο οδυνηρή και σε σπρώχνει να αποφεύγεις την επόμενη επαφή με το αντικείμενο. Η αποφυγή αφήνει κενά. Τα κενά κάνουν την επόμενη άσκηση δυσκολότερη. Και κάπως έτσι αποκτάς έναν μικρό, πολύ αποτελεσματικό κύκλο που αναπαράγει το πρόβλημά του μόνος του.
Ο πατέρας μου κι εγώ δεν τσακωνόμασταν επειδή κάποιος από τους δυο μας είχε κακή πρόθεση. Είχαμε μπει σε αυτόν τον κύκλο και ο καθένας διάβαζε τη συμπεριφορά του άλλου με τον χειρότερο δυνατό τρόπο.
Τα μαθηματικά πριν τη φασίνα
Υπάρχει ένας ακόμη λόγος που οι μαθητές νομίζουν ότι οι καλοί στα μαθηματικά βλέπουν αμέσως τη λύση. Διότι αυτό ακριβώς τους δείχνουμε.
Το σχολικό βιβλίο έχει κάποια απόδειξη. Ξεκινά από τις σωστές παραδοχές, κάνει τις σωστές κινήσεις με τη σωστή σειρά και φτάνει εκεί που έπρεπε. Ο καθηγητής, αν έχει προετοιμαστεί καλά, κάνει περίπου το ίδιο στον πίνακα. Σπάνια βλέπεις τις τρεις ιδέες που απέτυχαν πριν βρεθεί η σωστή. Δεν βλέπεις το παράδειγμα που υποτίθεται ότι θα έλυνε τα πάντα και τελικά δεν έλυσε τίποτα. Δεν βλέπεις τη μισή σελίδα υπολογισμών που πετάχτηκε. Βλέπεις ένα δωμάτιο αφού κάποιος μάζεψε τα ρούχα από την καρέκλα και έσπρωξε ό,τι περίσσευε κάτω από το κρεβάτι.
Σήμερα τα μαθηματικά είναι η δουλειά μου. Αυτό που συμβαίνει όταν προσπαθούμε να λύσουμε ένα καινούργιο πρόβλημα έχει πολύ μικρή σχέση με αυτή την εικόνα της αλάνθαστης πορείας. Υπάρχουν συζητήσεις που δεν βγάζουν πουθενά, ορισμοί που αλλάζουν, παραδείγματα που δείχνουν ότι η ωραία ιδέα μας ήταν λάθος. Φυσικά υπάρχουν και στιγμές όπου κοιτάζεις κάτι που έγραψες χθες και αναρωτιέσαι ποιος μλκς το σκέφτηκε αυτό. Μετά θυμάσαι ότι ήσουν, αλλά τι να κάνεις; Συνεχίζεις. Εννοείται πως η τελική αυστηρότητα δεν είναι διακοσμητική. Η απόδειξη είναι αυτή που ξεχωρίζει το "χμ, μοιάζει να ισχύει" από το "ξέρουμε γιατί ισχύει". Επιτρέπει σε έναν άλλο άνθρωπο να ελέγξει το επιχείρημα, να βρει το κενό ή να χρησιμοποιήσει την ιδέα κάπου αλλού. Χωρίς τις αποδείξεις, τα μαθηματικά θα ήταν μια συλλογή από πολύ πειστικά vibes.
Ο William Thurston επέμενε, όμως, σε κάτι που χάνεται όταν ταυτίζουμε τα μαθηματικά με τις τελικές αποδείξεις. Ο πραγματικός σκοπός της μαθηματικής δουλειάς είναι να προχωρά η ανθρώπινη κατανόηση των μαθηματικών. Μια απόδειξη μπορεί να είναι σωστή και παρ' όλα αυτά να μη βοηθά σχεδόν κανέναν να δει τι συμβαίνει. Αντίστροφα, ένα καλό σχήμα, μια καινούργια αναπαράσταση ή ένας τρόπος να ονομάσεις το σωστό αντικείμενο μπορεί να αλλάξει τον τρόπο με τον οποίο μια ολόκληρη κοινότητα σκέφτεται ένα πρόβλημα. Αυτό δεν είναι κάποιο παράπονο ενός ρομαντικού εναντίον της αυστηρότητας. Είναι, νομίζω, περιγραφή του πώς δουλεύουν πραγματικά οι άνθρωποι. Για να καταλάβεις μια δύσκολη ιδέα, τη βλέπεις από περισσότερες από μία πλευρές. Κοιτάς τι γίνεται με μικρές περιπτώσεις του προβλήματος. Φτιάχνεις εικόνες. Τη συνδέεις με κάτι που ήδη ξέρεις. Ακούς κάποιον να την εξηγεί λίγο διαφορετικά και ξαφνικά μια απόδειξη που διάβαζες εδώ και δύο μέρες αποκτά νόημα.
Η τελική απόδειξη είναι, κατά κάποιον τρόπο, το τέλος της ταινίας. Είναι σημαντικό το τέλος. Χωρίς αυτό μπορεί να μην ξέρουμε καν αν η ιστορία στέκεται. Αν όμως δείξεις μόνο τα τελευταία τρία λεπτά, δεν μπορείς μετά να κατηγορείς τον θεατή επειδή δεν κατάλαβε τι γινόταν με τους χαρακτήρες της ιστορίας. Η αλήθεια είναι πως κι εμείς οι μαθηματικοί βοηθάμε συχνά να διατηρηθεί ο μύθος. Παρουσιάζουμε μια λύση αφού έχουμε σβήσει όλα τα ίχνη της αναζήτησης. Λέμε "είναι εύκολο να δει κανείς" για κάτι που μας πήρε τρεις μέρες να δούμε. Γράφουμε "προφανώς" στο σημείο όπου ο αναγνώστης αρχίζει να αμφισβητεί όλες τις αποφάσεις που τον έφεραν μέχρι εκεί. Μετά απορούμε γιατί ο υπόλοιπος κόσμος πιστεύει ότι τα μαθηματικά είναι κάτι δύσκολο και για "λίγους".
Το θέμα δεν είναι να δημοσιεύουμε μαζί με κάθε απόδειξη που βγάζουμε και το ημερολόγιο της ψυχικής μας κατάρρευσης. Είναι χρήσιμο όμως, ιδίως στη διδασκαλία, να φαίνεται ότι η καθαρή λύση είναι προϊόν φασίνας. Η σύγχυση δεν βρίσκεται έξω από τη μαθηματική διαδικασία· συνήθως βρίσκεται στην αρχή και αρκετές φορές στη μέση.
"Εγώ είμαι των τεχνών"
Ο διαχωρισμός ανάμεσα στους ανθρώπους "των τεχνών" και στους ανθρώπους "της λογικής" επιβιώνει επειδή κολακεύει και τις δύο πλευρές. Ο ένας παίρνει τη φαντασία, το συναίσθημα και την ελευθερία. Ο άλλος παίρνει την ακρίβεια, την ψυχραιμία και μια μαγική ικανότητα να συναρμολογεί έπιπλα από το ΙΚΕΑ χωρίς να περισσεύουν τρεις βίδες. Όλοι φεύγουν με μια μικρή ταυτότητα στην τσέπη.
Μόνο που η εικόνα είναι λάθος και για τις τέχνες και για τα μαθηματικά.
Ένας μουσικός δεν κάθεται απλώς περιμένοντας να τον χτυπήσει η έμπνευση. Μαθαίνει το όργανο, επαναλαμβάνει κλίμακες, ακούει δομές, δουλεύει τον ρυθμό και πετάει ιδέες που δεν λειτουργούν. Ένας ποιητής επιλέγει λέξεις μέσα σε περιορισμούς. Ένας σκηνοθέτης λύνει ταυτόχρονα τεχνικά, οικονομικά και αφηγηματικά προβλήματα. Η δημιουργία δεν εξαφανίζεται επειδή υπάρχουν κανόνες. Συχνά χρειάζεται τους κανόνες για να βρει κάτι πάνω στο οποίο να σπρώξει.
Και ο μαθηματικός δεν είναι κομπιουτεράκι με κακή κοινωνική ζωή. Πριν ελέγξει αυστηρά μια ιδέα, πρέπει να έχει κάποια ιδέα. Πρέπει να φανταστεί τι μπορεί να είναι αληθινό, να επιλέξει ποια περίπτωση αξίζει να κοιτάξει, να επινοήσει μια βοηθητική κατασκευή ή να βρει το αντιπαράδειγμα που σκοτώνει μια όμορφη εικασία. Η λογική δεν παράγει από μόνη της την κατεύθυνση. Ελέγχει αν η κατεύθυνση που διάλεξε η φαντασία οδηγεί κάπου ή πέφτει σε γκρεμό.
Υπάρχει βέβαια και η τεχνική. Κανείς δεν συνθέτει μουσική επειδή του είπαμε απλώς να είναι δημιουργικός, χωρίς να μάθει ποτέ πώς λειτουργεί το όργανο. Κανείς δεν αποδεικνύει θεώρημα επειδή του δώσαμε χρωματιστούς μαρκαδόρους και ασφαλή χώρο να εκφραστεί. Η δουλειά απαιτεί γνώσεις, επανάληψη, μνήμη και μερικές βαρετές ώρες. Το λάθος δεν είναι ότι ζητάμε πειθαρχία, αλλά ότι παρουσιάζουμε την πειθαρχία σαν ολόκληρο το νόημα και μετά χαρίζουμε τη δημιουργία μόνο σε όσους άντεξαν αρκετά χρόνια χωρίς να τη δουν.
Δεν θα αγαπήσουν όλοι τα μαθηματικά. Δεν αγαπούν όλοι τη ζωγραφική, το μπάσκετ ή τις ταινίες τρεισήμισι ωρών όπου ένας άντρας κοιτάζει τη θάλασσα, η οποία συμβολίζει το αμνιακό υγρό μέσα στο οποίο κυοφορείται το σύμπαν, ενώ τα κύματα συμβολίζουν τις συσπάσεις μιας κοσμικής γέννας. Οι άνθρωποι έχουν πραγματικές διαφορές στις κλίσεις και στις επιθυμίες τους. Το ελάχιστο που τους χρωστάμε είναι να γνωρίσουν το αντικείμενο προτού αποφασίσουν ότι το μισούν.
Πολλοί δεν το γνώρισαν ποτέ. Γνώρισαν φωτοτυπίες, βαθμούς, τύπους χωρίς ερωτήσεις, το βλέμμα του ενήλικου που δεν μπορεί να πιστέψει ότι ακόμη δεν κατάλαβες. Αν αυτό μισούν, ειλικρινά, τους καταλαβαίνω.
Στο μεταξύ, οι αριθμοί βγήκαν από την τάξη
Θα μπορούσε κάποιος να πει ότι όλα αυτά αφορούν το σχολείο. Τελείωσες, πέρασες τις εξετάσεις, ορκίστηκες ότι δεν θα ξαναλύσεις εξίσωση και προχώρησες με τη ζωή σου.
Μόνο που στο μεταξύ σχεδόν ολόκληρη η δημόσια ζωή γέμισε αριθμούς.
Ανοίγεις μια είδηση και ένας κίνδυνος έχει αυξηθεί κατά 200%. Ακούγεται τεράστιο. Μπορεί πράγματι να είναι. Μπορεί και όχι. Η σχετική αύξηση είναι 200%, όχι η απόλυτη. Χρειαζόμαστε και τα δύο νούμερα για να καταλάβουμε τι συνέβη. Ο τίτλος, για λόγους ανεξήγητους και σίγουρα άσχετους με τα κλικ, προτιμά συνήθως το πρώτο.
Μια κυβέρνηση λέει ότι αυξήθηκε ο μέσος μισθός. Ωραία. Ποιος μέσος; Αν δέκα άνθρωποι βγάζουν από 1.000 ευρώ και ένας ενδέκατος βγάζει 100.000, ο αριθμητικός μέσος της παρέας είναι 10.000 ευρώ. Οι δέκα μπορούν να κοιτάξουν τον λογαριασμό τους όσο θέλουν, τα υπόλοιπα εννέα χιλιάρικα δεν θα εμφανιστούν. Η διάμεσος, ο μισθός του ανθρώπου που βρίσκεται στη μέση όταν τους βάλουμε σε σειρά, παραμένει 1.000. Δεν υπάρχει ένας "σωστός" μέσος ανεξάρτητα από την ερώτηση. Υπάρχει ο αριθμός που φωτίζει αυτό που θέλουμε και εκείνος που αφήνει βολικά τα υπόλοιπα στο σκοτάδι.
Μια δημοσκόπηση δείχνει 53% απέναντι σε 47%. Αυτό μεταφράζεται αμέσως σε "η κοινωνία αποφάσισε". Αλλά πόσους ρώτησαν; Πώς τους βρήκαν; Ποιοι αρνήθηκαν να απαντήσουν; Πώς διατυπώθηκε η ερώτηση; Αν το περιθώριο δειγματοληπτικού σφάλματος είναι περίπου τρεις ποσοστιαίες μονάδες, το 53 δεν είναι μαγικός τοίχος ανάμεσα στη βεβαιότητα και στο χάος. Και το περιθώριο αυτό δεν καλύπτει καν κάθε πιθανό σφάλμα, όπως μια κακή επιλογή δείγματος ή μια ερώτηση που σπρώχνει προς συγκεκριμένη απάντηση.
Μια μελέτη βρίσκει ότι οι άνθρωποι που κάνουν κάτι έχουν συχνότερα ένα συγκεκριμένο πρόβλημα υγείας. Μέχρι το απόγευμα ο τίτλος γράφει ότι το πρώτο πράγμα "προκαλεί" το δεύτερο. Μπορεί. Μπορεί όμως οι δύο ομάδες να διαφέρουν ως προς την ηλικία, το εισόδημα, τις συνήθειες, την πρόσβαση σε γιατρό ή κάποιον τρίτο παράγοντα που δεν μετρήθηκε καλά. Η συσχέτιση είναι στοιχείο που χρειάζεται εξήγηση. Δεν έρχεται με την αιτία συσκευασμένη μέσα.
Ακόμη και ένα αρκετά καλό ιατρικό τεστ μπορεί να μας μπερδέψει αν αγνοήσουμε πόσο σπάνια είναι η πάθηση που ψάχνει. Ας πούμε, για να έχουμε καθαρούς αριθμούς, ότι μια πάθηση υπάρχει στο 1% του πληθυσμού και ένα τεστ εντοπίζει σωστά το 95% όσων την έχουν, αλλά βγαίνει επίσης θετικό στο 5% όσων δεν την έχουν. Σε 10.000 ανθρώπους, περίπου 100 θα έχουν την πάθηση και το τεστ θα βρει τους 95. Από τους άλλους 9.900, όμως, περίπου 495 θα πάρουν επίσης θετικό αποτέλεσμα. Άρα ανάμεσα στα 590 θετικά τεστ, μόνο τα 95 αντιστοιχούν πράγματι στην πάθηση: περίπου ένα στα έξι.
Το τεστ δεν ήταν ψεύτικο και τα μαθηματικά δεν απέτυχαν. Εμείς κάναμε λάθος ερώτηση. Ακούσαμε "95% ακριβές" και νομίζαμε ότι αυτό απαντά αυτομάτως στο "αν βγήκα θετικός, πόσο πιθανό είναι να έχω την πάθηση;". Δεν απαντάει σε αυτό. Χρειάζεται να ξέρουμε και πόσο συχνή ήταν η πάθηση πριν γίνει το τεστ.
Αυτός ο κόσμος των ποσοστών, των δειγμάτων και των μοντέλων δεν περιορίζεται στις ειδήσεις. Ένας αλγόριθμος αποφασίζει ποια βιογραφικά θα δει πρώτα ένας εργοδότης, εκτιμά τον κίνδυνο ενός δανείου, προτείνει τι θα εμφανιστεί στο feed ή βοηθά έναν γιατρό να ταξινομήσει μια εξέταση. Κάθε τέτοιο σύστημα κουβαλά επιλογές. Με ποια δεδομένα εκπαιδεύτηκε; Τι όρισε κάποιος ως επιτυχία; Ποιο λάθος κόστιζε περισσότερο κατά τον σχεδιασμό του; Έχει την ίδια επίδοση σε διαφορετικές ομάδες ανθρώπων ή ο ωραίος ενιαίος αριθμός κρύβει πολύ διαφορετικές αποτυχίες;
Αυτές είναι μαθηματικές ερωτήσεις, παρότι δεν εμφανίζεται πουθενά ένα x και κανείς δεν ζητά να βρούμε κάποιο εμβαδό. Η μαθηματική παιδεία σήμερα δεν είναι κυρίως να κάνεις πράξεις γρηγορότερα από το κινητό σου. Είναι να ξέρεις ποια πράξη απαντά στην ερώτηση, ποιες παραδοχές μπήκαν στο μοντέλο και ποιο συμπέρασμα δεν μπορείς να βγάλεις από τα διαθέσιμα δεδομένα.
Ο άνθρωπος που φοβάται τους αριθμούς είναι εύκολος στόχος για όποιον τους κουνά μπροστά του με αυτοπεποίθηση. Το ίδιο και ο άνθρωπος που τους λατρεύει. Ένα ποσοστό με δύο δεκαδικά ψηφία και ένα μπλε γράφημα δεν είναι η αντικειμενική αλήθεια που κατέβασε ο Μωυσής από το βουνό. Μερικές φορές είναι μια γνώμη που έβαλε αποκριάτικη στολή. Άλλες φορές είναι σοβαρή δουλειά, αλλά χρειάζεται να ξέρεις αρκετά ώστε να δεις τη διαφορά.
Θα ήταν όμως λίγο θλιβερό να υπερασπιστούμε τα μαθηματικά μόνο επειδή μας προστατεύουν από κακούς τίτλους, αλγορίθμους και βλαμμένους με podcast. Θα επαναλαμβάναμε το ίδιο λάθος με πιο σύγχρονο λεξιλόγιο: θα λέγαμε ότι τα μαθηματικά αξίζουν μόνο επειδή είναι χρήσιμα κάπου αλλού, επειδή η αγορά θέλει STEM, επειδή αυξάνουν τον μισθό ή επειδή κάθε παιδί πρέπει να ιδρύσει startup προτού πέσουν τα μωρουδιακά του δόντια.
Τα μαθηματικά αξίζουν και για τον ίδιο λόγο που αξίζει ένα παιχνίδι, ένα τραγούδι ή μια ιστορία. Επειδή οι άνθρωποι βρίσκουν μέσα τους ομορφιά και χώρο να κινηθούν. Μπορείς να επινοήσεις έναν κόσμο με λίγους κανόνες και να δεις τι ακολουθεί αναγκαστικά. Να ρωτήσεις αν υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, γιατί ορισμένες συμμετρίες επανέρχονται ή πώς αλλάζει ένα παιχνίδι αν πειράξεις έναν μόνο κανόνα. Δεν χρειάζεσαι εργαστήριο εκατομμυρίων. Χρειάζεσαι χρόνο, περιέργεια και την άδεια να μείνεις λίγο μέσα στη σύγχυση χωρίς κάποιον να σε πρήζει ότι τελειώνει ο χρόνος.
Ένα λιγότερο κακό μάθημα
Πιθανή παρεξήγηση: αν η μηχανική αποστήθιση είναι κακή, τότε ας αφήσουμε τα παιδιά να ανακαλύψουν τα πάντα μόνα τους. Ορίστε ένα θεώρημα, σαράντα λεπτά, ένα μολύβι και πίστη στον εαυτό σου. Καλή τύχη.
Η έρευνα για τη μάθηση δεν υποστηρίζει την ιδέα ότι η εντελώς αστήρικτη ανακάλυψη (discovery) είναι η καλύτερη λύση. Μια μετα-ανάλυση του Louis Alfieri και των συνεργατών του βρήκε ότι η ανακάλυψη χωρίς καθοδήγηση υστερούσε σε σχέση με τη ρητή διδασκαλία, ενώ οι μορφές ανακάλυψης που περιλάμβαναν καθοδήγηση, ανατροφοδότηση, παραδείγματα και κατάλληλες υποδείξεις είχαν κατά μέσο όρο καλύτερα αποτελέσματα από τις άλλες μορφές διδασκαλίας με τις οποίες συγκρίθηκαν. Άρα αυτό που μας ενδιαφέρει εδώ δεν είναι απλώς η ανακάλυψη. Είναι η καθοδηγούμενη ανακάλυψη.
Αυτό έχει πολύ μεγάλη σημασία και για τις ανισότητες. Το παιδί που έχει χρόνο, ήσυχο χώρο, αυτοπεποίθηση και κάποιον διαθέσιμο να βοηθήσει μπορεί να περιπλανηθεί δημιουργικά για αρκετή ώρα. Το παιδί που έχει ήδη μάθει ότι κάθε μπέρδεμα είναι προσωπική αποτυχία μπορεί απλώς να χαθεί. Αν ο δάσκαλος αρνηθεί να δώσει στήριξη στο όνομα της ελευθερίας, τη στήριξη θα την αγοράσουν ή θα την προσφέρουν οι οικογένειες που μπορούν.
Η καλή διδασκαλία δεν εξαφανίζει τον δάσκαλο. Του δίνει πιο δύσκολη δουλειά. Πρέπει να επιλέξει ένα πρόβλημα που έχει κάτι να αποκαλύψει, να αφήσει χρόνο για δοκιμή, να καταλάβει πότε μια αποτυχημένη ιδέα αξίζει να συζητηθεί και πότε ο μαθητής χρειάζεται μια συγκεκριμένη υπόδειξη για να μην πνιγεί. Πρέπει επίσης κάποια στιγμή να εξηγήσει καθαρά, να δώσει όνομα σε όσα εμφανίστηκαν και να οργανώσει τη γνώση ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ξανά.
Το τρίγωνο μέσα στο ορθογώνιο θα μπορούσε να γίνει ένα τέτοιο μάθημα. Αρχίζεις με το σχήμα και την ερώτηση. Τα παιδιά μετακινούν την κορυφή, μετρούν, κόβουν χαρτί, κάνουν εικασίες. Κάποιος πιστεύει ότι το εμβαδόν αλλάζει όταν η κορυφή πάει προς τη γωνία. Ωραία. Δεν λέμε απλώς "μαλάκια είπες". Ψάχνουμε τι μένει σταθερό και ποια μέτρηση θα ξεχώριζε τις δύο υποθέσεις. Αν κανείς δεν βρει τη βοηθητική γραμμή, ο δάσκαλος μπορεί να ρωτήσει αν γίνεται να χωρίσουμε το σχήμα σε γνωστά κομμάτια. Δεν χρειάζεται να περιμένει μέχρι να βγάλουν άσπρες τρίχες.
Όταν η γραμμή εμφανιστεί, η απόδειξη έχει πλέον λόγο ύπαρξης. Δεν τη γράφουμε επειδή το βιβλίο έχει ένα γκρι κουτί με τίτλο "Θεώρημα" και πρέπει κάτι να βάλουμε εκεί. Θέλουμε να ξέρουμε αν η παρατήρηση ισχύει για κάθε θέση της κορυφής και όχι μόνο για τα τρία σχήματα που δοκιμάσαμε. Μετά έρχεται ο τύπος και συμπυκνώνει αυτό που είδαμε. Και μετά, ναι, λύνουμε ασκήσεις. Δεν θα πάθει τίποτα κανείς.
Η τεχνική χρειάζεται. Οι βασικές πράξεις πρέπει κάποτε να γίνονται χωρίς να καταναλώνουν όλη τη διαθέσιμη προσοχή. Οι κλίμακες βοηθούν τον μουσικό να παίξει, αρκεί να υπάρξει κάποτε και μουσική. Το πρόβλημα αρχίζει όταν κάθε μάθημα είναι κλίμακες και υποσχόμαστε στα παιδιά ότι, αν αντέξουν μέχρι τα δεκαοκτώ, ίσως ακούσουν τραγούδι στο πανεπιστήμιο.
Πρέπει να αλλάξει και αυτό που μετράμε. Όσο η εξέταση ανταμείβει κυρίως την αναγνώριση γνωστών τύπων ασκήσεων κάτω από την πίεση του χρόνου, καθηγητές και μαθητές θα προσαρμόζονται σε αυτό. Δεν έχει μεγάλη σημασία πόσες φορές γράφει το πρόγραμμα σπουδών "κριτική σκέψη". Αν στο τέλος οι μονάδες δίνονται για πέντε προβλέψιμες λύσεις σε σαράντα πέντε λεπτά, εκεί θα πάει το μάθημα. Η ταχύτητα λέει κάτι, αλλά δεν λέει τα πάντα. Ένας μαθητής μπορεί να αργεί επειδή δεν καταλαβαίνει. Μπορεί όμως να αργεί επειδή ελέγχει μια ιδέα, επειδή ψάχνει δεύτερο δρόμο ή επειδή προσπαθεί να εξηγήσει γιατί η μέθοδος δουλεύει. Η σωστή απάντηση μετρά. Μετρά επίσης αν η λύση θα επιβίωνε όταν αλλάζαμε λίγο τα δεδομένα και αν ο μαθητής μπορεί να διακρίνει ένα πραγματικό επιχείρημα από μια ακολουθία συμβόλων που απλώς κατέληξε τυχαία στο σωστό νούμερο.
Τι μπορούμε να κάνουμε μέχρι τότε
Δεν πρόκειται να αλλάξουμε αύριο το πρωί τα προγράμματα, τις εξετάσεις, τα βιβλία, την εκπαίδευση των δασκάλων και ολόκληρη τη σχέση μας με την αποτυχία. Μπορούμε όμως να σταματήσουμε να ρίχνουμε λάδι σε μερικές πολύ συγκεκριμένες φωτιές.
Όταν ένα παιδί κολλάει, δεν χρειάζεται να γεμίσουμε αμέσως τη σιωπή με την ίδια εξήγηση, αυτή τη φορά πιο δυνατά. Μπορούμε να ρωτήσουμε τι κατάλαβε, τι δοκίμασε και σε ποιο ακριβώς σημείο χάθηκε. Το "δεν ξέρω" δεν είναι πάντα τεμπελιά. Μερικές φορές σημαίνει ότι το παιδί δεν έχει ακόμη λέξεις για το πρόβλημα. Αυτές οι λέξεις είναι μέρος αυτού που πρέπει να μάθει.
Όταν η ιδέα του είναι λάθος, έχουμε επιτέλους κάτι ενδιαφέρον να συζητήσουμε. Γιατί φαινόταν σωστή; Σε ποια παραδείγματα δουλεύει; Ποιο είναι το μικρότερο παράδειγμα που τη διαψεύδει; Το λάθος δεν χρειάζεται να γίνει γιορτή αυτοεκτίμησης. Είναι λάθος και πρέπει να διορθωθεί. Αλλά μπορεί να διορθωθεί ως σκέψη, όχι απλώς να σβηστεί ως λεκές. Καλό θα ήταν επίσης να απαγορεύσουμε για κάνα χρόνο τη φράση "εγώ δεν είμαι των μαθηματικών". Όποιος επιμένει θα πληρώνει πρόστιμο ίσο με ένα κλάσμα του μισθού του. Το κλάσμα θα το υπολογίζει μόνος του. Και κάθε φορά που μια είδηση (ή κάποιος συμφορουμίτης) ανακοινώνει αύξηση 200%, ας γίνουμε για λίγο εκείνος ο κουραστικός άνθρωπος και ας ρωτήσουμε "από πόσο σε πόσο;". Όταν μια έρευνα "αποδεικνύει" κάτι, ας ρωτήσουμε ποιον μέτρησε και τι ακριβώς βρήκε. Όταν ένας μαθηματικός γράφει "προφανώς", ας πέσουν φάπες.
Το βασικό, πάντως, είναι άλλο. Να σταματήσουμε να παρουσιάζουμε το μπέρδεμα ως απόδειξη ανικανότητας. Το μπέρδεμα δεν είναι από μόνο του βαθιά σκέψη. Μερικές φορές δεν ακούσαμε την εκφώνηση. Μερικές φορές λείπει μια βασική γνώση και πρέπει να γυρίσουμε πίσω. Αλλά αν ξέρεις εξαρχής ακριβώς ποια βήματα θα κάνεις και γιατί θα πετύχουν, δεν λύνεις πρόβλημα. Έτσι φτιάχνεις και αρνάκι στο φούρνο· μια συνταγή είναι. Η μαθηματική σκέψη χρειάζεται ένα διάστημα στο οποίο δεν ξέρεις ακόμη.
Ο δάσκαλος εκείνου του καλοκαιριού δεν μου χάρισε κάποια μυστική ικανότητα. Δεν άλλαξε τον εγκέφαλό μου και δεν ακύρωσε όλα τα βαρετά κομμάτια της δουλειάς. Μου έδειξε ότι πίσω από τους κανόνες υπήρχαν ερωτήσεις και πίσω από τις λύσεις υπήρχαν άνθρωποι που κάποτε δεν ήξεραν τη λύση. Αυτό ήταν το πρώτο σημείο στο οποίο τα μαθηματικά έπαψαν να μοιάζουν με κλειστό κλαμπ "έξυπνων" ανθρώπων.
Δεν θα αγαπήσουν όλοι τα μαθηματικά. Και δεν χρειάζεται. Ας φροντίσουμε μόνο, πριν τα απορρίψουν, να έχουν συναντήσει κάτι περισσότερο από το εκπαιδευτικό τους κουφάρι.
Πηγές
- Paul Lockhart, A Mathematician’s Lament (https://worrydream.com/refs/Lockhart_20 ... Lament.pdf).
- William P. Thurston, On Proof and Progress in Mathematics (https://arxiv.org/abs/math/9404236), Bulletin of the American Mathematical Society 30(2), 1994.
- Erin A. Maloney et al., Intergenerational Effects of Parents’ Math Anxiety on Children’s Math Achievement and Anxiety (https://journals.sagepub.com/doi/10.117 ... 7615592630), Psychological Science 26(9), 2015.
- Gerardo Ramirez et al., Teacher Math Anxiety Relates to Adolescent Students’ Math Achievement (https://journals.sagepub.com/doi/10.117 ... 8418756052), AERA Open 4(1), 2018.
- Connie Barroso et al., A Meta-Analysis of the Relation Between Math Anxiety and Math Achievement (https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC8300863/), Psychological Bulletin 147(2), 2021.
- Louis Alfieri et al., Does Discovery-Based Instruction Enhance Learning? (https://doi.org/10.1037/a0021017), Journal of Educational Psychology 103(1), 2011.
[^1]: Αυτή είναι ιστορία για άλλη φορά.
[^2]: Δυστυχώς δεν έχω ιδέα ούτε από μουσική ούτε από μουσική εκπαίδευση. Ελπίζω ο παραλληλισμός που θέλω να κάνω να στέκει.
Όταν ήμουν στο δημοτικό, τα μαθήματά μου τα έκανα στο γραφείο μου, στο δωμάτιό μου. Κι εκεί ο καημένος ο πατέρας μου, έχοντας γυρίσει βράδυ από τη δουλειά, προσπαθούσε να δει αν είχα διαβάσει για την επόμενη μέρα.
Στο τραπέζι υπήρχε ένα ανοιχτό τετράδιο, το μολύβι είχε αρχίσει να αφήνει βαθουλώματα στο χαρτί και ο πατέρας μου καθόταν δίπλα, προσπαθώντας να μου εξηγήσει μια άσκηση. Δεν θυμάμαι καν ποια άσκηση. Κάποια διαίρεση, κάποιο κλάσμα, ίσως μια εξίσωση. Δεν έχει και πολλή σημασία. Όλες είχαν αρχίσει να μοιάζουν μεταξύ τους. Βάλε λίγους αριθμούς, μερικά σύμβολα, τη βεβαιότητα ότι κάπου εκεί μέσα υπήρχε μια σωστή απάντηση που εγώ, προσωπικά, είχα βαλθεί να αποφεύγω.
Ο πατέρας μου εξηγούσε. Εγώ έλεγα ότι κατάλαβα. Μετά κοιτούσα την επόμενη άσκηση και δεν είχα ιδέα τι να κάνω.
"Μα μόλις σου το είπα."
Ναι. Το είχε εξηγήσει. Το είχα ακούσει κιόλας. Απλώς, κάπου στην μικρή απόσταση ανάμεσα στη μία άσκηση και στην επόμενη, η εξήγηση είχε φύγει από το κεφάλι μου και είχε πάει να ζήσει μια καλύτερη ζωή. Μετά εκείνος εκνευριζόταν επειδή πίστευε ότι δεν πρόσεχα. Εγώ εκνευριζόμουν επειδή προσπαθούσα, ή τουλάχιστον έτσι πίστευα, και παρ' όλα αυτά δεν μπορούσα να κάνω κάτι που εκείνος αντιμετώπιζε ως απλό. Όσο εκείνος επέμενε, τόσο εγώ μουλάρωνα. Όσο εγώ εκνευριζόμουν, τόσο εκείνος επέμενε. Ήταν ένα άριστο σύστημα ανατροφοδότησης, αν ο στόχος του συστήματος ήταν να περάσουμε ένα απαίσιο απόγευμα.
Δεν υπάρχει κάποιος κακός σε αυτή την ιστορία. Ο πατέρας μου ήθελε να βοηθήσει το παιδί του. Εγώ ήθελα να τελειώσω τα μαθήματα χωρίς να νιώθω ηλίθιος. Ακόμη και ο δάσκαλος που είχε βάλει τις ασκήσεις κατά πάσα πιθανότητα ήθελε να μάθουμε. Παρ' όλα αυτά, όλοι μαζί καταφέρναμε κάτι εντυπωσιακό! Όσο περισσότερη ώρα αφιερώναμε στα μαθηματικά, τόσο λιγότερο ήθελα να έχω οποιαδήποτε σχέση μαζί τους.
Κάποια στιγμή έβγαλα το προφανές παιδικό συμπέρασμα. Δεν το έχω.
Όχι "δεν κατάλαβα αυτή την άσκηση", "αυτός ο τρόπος εξήγησης δεν με βοήθησε". Δεν το έχω γενικώς. Υπήρχαν παιδιά με μαθηματικό μυαλό και παιδιά σαν εμένα. Τα πρώτα άκουγαν ένα πρόβλημα για έναν βοσκό που έχει 100 κατσίκες και η καθεμία παράγει 2 λίτρα γάλα και από αυτά κρατάμε μόνο το 1,7 και κάτι άναβε μέσα τους και ήξεραν αμέσως τι πρέπει να κάνουν. Εγώ έβλεπα μια εξίσωση και σκεφτόμουν πόση ώρα μπορεί να μείνει ένας άνθρωπος στην τουαλέτα προτού αρχίσουν να τον ψάχνουν.
Ύστερα, ένα καλοκαίρι, βρέθηκε σχεδόν τυχαία ένας δάσκαλος που μου έκανε μάθημα αλλιώς.
Θα ήταν ωραίο για την ιστορία να πω ότι θυμάμαι την πρώτη άσκηση που λύσαμε. Τη στιγμή που άνοιξαν οι ουρανοί και το φως της μαθηματικής αλήθειας έπεσε πάνω στην κεφάλα μου. Δεν τη θυμάμαι. Θυμάμαι όμως τη βασική διαφορά. Όταν έγραψε έναν τύπο, δεν μου είπε απλώς πού βάζουμε τους αριθμούς. Μου έδειξε από πού ήρθε. Όταν έκανα λάθος, δεν διόρθωσε αμέσως την πράξη. Προσπάθησε πρώτα να δει τι είχα σκεφτεί. Και όταν κόλλησα, δεν θεώρησε ότι αυτό τελείωνε τη συζήτηση.
Έκανε συχνά μια ερώτηση που μέχρι τότε δεν είχα συνδέσει ιδιαίτερα με τα μαθηματικά:
"Γιατί;"
Γιατί αλλάζει πρόσημο αυτός ο αριθμός; Γιατί το εμβαδόν βγαίνει έτσι; Γιατί πιστεύεις ότι αυτή η μέθοδος θα δουλέψει και στην επόμενη περίπτωση; Δεν ήταν τύπου ανάκριση. Η απάντηση μπορούσε κάλλιστα να είναι "δεν ξέρω". Μερικές φορές ξεκινούσαμε ακριβώς από εκεί. Δεν έγιναν ξαφνικά όλα εύκολα. Δεν είδα ένα τρίγωνο και άναψε μια καρτουνίστικη λάμπα πάνω από το κεφάλι μου. Έκανα πάλι λάθη (πολλά), ξεχνούσα πράγματα και βαριόμουν ορισμένες ασκήσεις, όπως κάθε φυσιολογικός άνθρωπος που βρίσκεται καλοκαίρι μπροστά σε τετράδιο ενώ έξω συμβαίνει οτιδήποτε άλλο. Άλλαξε όμως κάτι πιο βασικό. Το μπέρδεμα δεν ήταν πια τελική διάγνωση. Μπορούσε να είναι απλώς το σημείο όπου βρισκόμασταν εκείνη τη στιγμή.
Ο αριθμός δεν "περνάει απέναντι"
Στην πρώτη γυμνασίου μάθαμε να λύνουμε εξισώσεις. Δεν θυμάμαι να μας είπε κανείς τι ακριβώς ήταν μια εξίσωση ή γιατί ένας άνθρωπος θα ήθελε να λύσει μία. Θυμάμαι όμως τον κανόνα πως ό,τι περνάει από την άλλη πλευρά αλλάζει πρόσημο. Το (+3) πήγαινε απέναντι και γινόταν (-3). Το (-5) έκανε το αντίστροφο ταξίδι και γινόταν (+5). Όλα αυτά συνέβαιναν με την ψυχρή κανονικότητα Σέρβου συνοριοφύλακα.[^1] Περνάς γραμμή; Αλλάζεις πρόσημο. Επόμενος. Αν ρωτούσες γιατί, συνήθως άκουγες ξανά τον ίδιο κανόνα, λίγο πιο αργά: "Επειδή το μεταφέρουμε στο άλλο μέλος". Αυτό δεν εξηγούσε τίποτα. Περιείχε όμως τη λέξη "μέλος", που ακουγόταν αρκετά επίσημη ώστε να υποθέσεις ότι το πρόβλημα ήταν δικό σου.
Φυσικά, κανένας αριθμός δεν σηκώνεται και περνάει πουθενά. Αν έχουμε x+3=7, αφαιρούμε 3 και από τις δύο πλευρές για να διατηρήσουμε την ισότητα. Το -3 που εμφανίζεται δεξιά είναι το ίχνος αυτής της πράξης. Η συντομογραφία "πάει απέναντι και αλλάζει πρόσημο" είναι χρήσιμη αφού έχεις καταλάβει τι συντομεύει. Αν τη μάθεις πρώτη, μοιάζει με ξόρκι. Και τα ξόρκια έχουν το μειονέκτημα ότι, μόλις η άσκηση πάψει να έχει τη μορφή που αναγνωρίζεις, δεν ξέρεις τι διάολο να κάνεις.
Το ίδιο συμβαίνει παντού. Πάρτε ένα ορθογώνιο και σχεδιάστε μέσα του ένα τρίγωνο. Η βάση του τριγώνου είναι ολόκληρη η κάτω πλευρά του ορθογωνίου και η τρίτη κορυφή ακουμπά κάπου στην πάνω πλευρά. Μπορεί να είναι στη μέση, μπορεί να είναι σχεδόν στη γωνία. Η ερώτηση είναι απλή: τι μέρος του ορθογωνίου καλύπτει το τρίγωνο; Αν αρχίσεις να μετακινείς την πάνω κορυφή, το σχήμα αλλάζει αρκετά ώστε να μην είναι αμέσως φανερό ότι το εμβαδόν μένει ίδιο. Μπορείς να μετρήσεις μερικές περιπτώσεις. Μπορείς να κόψεις χαρτιά. Μπορείς να κάνεις μια εικασία και μετά να προσπαθήσεις να τη βγάλεις λάθος. Κάποια στιγμή κάποιος θα σκεφτεί να τραβήξει μια κάθετη γραμμή από την κορυφή προς τη βάση. Αυτή η γραμμή χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο μικρότερα ορθογώνια. Σε καθένα, η διαγώνιος αφήνει το μισό εμβαδόν από τη μία πλευρά και το μισό από την άλλη. Το αρχικό τρίγωνο, λοιπόν, καλύπτει πάντα το μισό ορθογώνιο.
Μετά μπορούμε να γράψουμε E=(bh)/2. Πολύ χρήσιμος τύπος. Μόνο που η πραγματική "μαθηματική" στιγμή δεν ήταν η αντικατάσταση του b και του h με δύο αριθμούς. Ήταν η στιγμή που κάποιος φαντάστηκε τη βοηθητική γραμμή.
Στο σχολείο συναντάμε συνήθως αυτή την ιστορία ανάποδα. Ο τύπος εμφανίζεται στον πίνακα σαν να υπήρχε από πάντα. Ακολουθεί ένα λυμένο παράδειγμα και μετά δέκα ή είκοσι παραλλαγές του ίδιου πράγματος. Βάση 8, ύψος 5. Βάση 12, ύψος 7. Βάση 3,5 και ύψος 8,5 (αγρίεψαν τα πράγματα τώρα).
Δεν θέλω να πω ότι είναι άχρηστες οι ασκήσεις. Είναι πολύ χρήσιμο να μάθεις να χρησιμοποιείς ένα εργαλείο χωρίς κάθε φορά να χτίζεις ολόκληρη τη θεωρία από το μηδέν. Αλλά αν αυτό είναι όλο το μάθημα, τότε η προπόνηση έχει μασήσει και έχει φτύσει όλο το παιχνίδι από τη διαδικασία. Είναι σαν να μαθαίνεις μουσική αντιγράφοντας νότες, κάνοντας κλίμακες και γράφοντας διαγωνίσματα αρμονίας χωρίς ποτέ να ακούς τραγούδι, να πιάνεις την κιθάρα ή να δοκιμάζεις να φτιάξεις μια μελωδία.[^2]
Αυτό το νοητικό πείραμα το βρίσκουμε στο A Mathematician’s Lament του Paul Lockhart. Φαντάζεται τη μουσική να διδάσκεται όπως διδάσκουμε μαθηματικά. Η σύνθεση θα θεωρούνταν πολύ δύσκολη για τα παιδιά. Η πραγματική μουσική θα ερχόταν αργότερα, ίσως στο πανεπιστήμιο, και μόνο για τους ειδικούς. Στο μεταξύ, οι μαθητές θα περνούσαν χρόνια μαθαίνοντας τους κανόνες της σημειογραφίας, επειδή κάποτε θα τους χρειαστούν και επειδή οι προηγούμενες γενιές υπέφεραν επίσης, άρα υπάρχει παράδοση. Η εικόνα που προκύπτει είναι σκόπιμα γελοία: κανείς δεν θα μπέρδευε τη μουσική με τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε για να τη γράψουμε. Στα μαθηματικά όμως μπερδεύουμε διαρκώς το ίδιο το αντικείμενο με τη γραμματική του. Οι τύποι, οι ορισμοί και οι τεχνικές είναι η γλώσσα. Τα μαθηματικά αρχίζουν όταν υπάρχει κάτι που θέλεις να πεις με αυτή τη γλώσσα.
Καλά, δεν θα ρωτήσουμε τα παιδιά γιατί δεν συγκινούνται από την παραγοντοποίηση τριωνύμου. Αλλά ρε φίλε, δεν τους έδειξες το τραγούδι. Τους έδωσες είκοσι σελίδες παρτιτούρα και τους έκοψες μονάδες επειδή η ουρά σε μία νότα κοίταζε προς τη λάθος πλευρά.
Ο άνθρωπος που "δεν το έχει"
Σε κάθε τάξη υπήρχε ένα παιδί που απαντούσε πριν τελειώσει η ερώτηση. Έκανε γρήγορα πράξεις, θυμόταν όλους τους κανόνες και έβλεπε αμέσως ποιο κόλπο χρειαζόταν η άσκηση. Αυτό ήταν το παιδί με "μαθηματικό μυαλό".
Ίσως πράγματι είχε ιδιαίτερη κλίση· δεν έχουμε όλοι οι άνθρωποι τις ίδιες ευκολίες. Το πρόβλημα ήταν το συμπέρασμα που βγάζαμε για όλους τους υπόλοιπους. Αν δεν ήσουν γρήγορος, αν χρειαζόσουν να σχεδιάσεις κάτι, αν έκανες μια ερώτηση που καθυστερούσε το μάθημα ή αν δοκίμαζες έναν δρόμο που δεν κατέληγε στη λύση, μάλλον δεν ήσουν από αυτούς που "το έχουν". Έτσι μια δυσκολία σε ένα συγκεκριμένο πράγμα μετατρεπόταν σιγά σιγά σε ταυτότητα. Δεν κατάλαβα τα κλάσματα. Δεν είμαι καλός στα μαθηματικά. Στην οικογένειά μας κανείς δεν ήταν καλός στα μαθηματικά. Εγώ είμαι περισσότερο θεωρητικός τύπος. Εγώ είμαι των τεχνών.
Η τελευταία φράση είναι πάντα λίγο αστεία (και λίγο ενοχλητική;). Κανείς δεν λέει με την ίδια άνεση "εγώ δεν καταλαβαίνω παραγράφους, είμαι των εξισώσεων". Αν έλεγες στους φίλους σου ότι δεν μπορείς να βγάλεις νόημα από τρεις προτάσεις στη σειρά, μάλλον δεν θα το αντιμετώπιζαν ως ένα χαριτωμένο σου γνώρισμα. Το "δεν καταλαβαίνω μαθηματικά", αντίθετα, μπορεί να ειπωθεί με περηφάνια, σαν πολιτισμική ταυτότητα ή σαν αλλεργία που σε απαλλάσσει από συγκεκριμένες υποχρεώσεις.
Δεν είναι πως δεν καταλαβαίνω το γιατί, για να σας πω την αλήθεια. Αν έχεις περάσει χρόνια νιώθοντας αργός, εκτεθειμένος ή ανεπαρκής, είναι ανακουφιστικό να αποφασίσεις ότι το αντικείμενο απλώς δεν σου ανήκει. Δεν απέτυχες εσύ. Είσαι άλλος τύπος ανθρώπου. Το ενοχλητικό πρόβλημα όμως είναι ότι αυτή η ταμπέλα κλείνει την πόρτα ακριβώς τη στιγμή που θα μπορούσες να ξαναμπείς με διαφορετικό τρόπο. Και η ταμπέλα δεν γεννιέται μόνο μέσα στο παιδί. Οι ενήλικοι τη μεταφέρουμε χωρίς να το καταλαβαίνουμε. "Μην ανησυχείς, ούτε εγώ ήμουν ποτέ καλός σε αυτά". Λέγεται για παρηγοριά. Το παιδί, όμως, μπορεί να ακούσει κάτι άλλο. Α, αυτό είναι ένα σταθερό χαρακτηριστικό της οικογένειάς μας, όπως το χρώμα των ματιών. Αν δυσκολεύεσαι, απλώς εμφανίστηκε νωρίς.
Μια μελέτη της Erin Maloney και των συνεργατών της παρακολούθησε παιδιά πρώτης και δευτέρας δημοτικού και εξέτασε το άγχος των γονέων τους στα μαθηματικά. Αυτό που βρήκε δεν ήταν απλώς ότι οι αγχωμένοι γονείς είχαν παιδιά με χαμηλότερη επίδοση. Η σχέση εμφανιζόταν κυρίως όταν αυτοί οι γονείς βοηθούσαν συχνά με τις εργασίες στα μαθηματικά. Δηλαδή η βοήθεια, όταν κουβαλούσε μαζί της φόβο και ένταση, μπορούσε να μεταδώσει και κάτι πέρα από τη μέθοδο των τριών.
Αυτό δεν σημαίνει ότι οι γονείς πρέπει να αφήνουν τα παιδιά μόνα τους ούτε ότι μία μελέτη μάς επιτρέπει να καταδικάσουμε κάθε κουβέντα πάνω από ένα τετράδιο. Οι ίδιοι οι ερευνητές μιλούν για σχέση που εξαρτάται από το πόσο συχνά βοηθούν οι γονείς, και τέτοιες μελέτες δεν μετατρέπουν κάθε οικογένεια σε απλό μηχανισμό αιτίας και αποτελέσματος. Δείχνουν όμως κάτι που αναγνωρίζεται εύκολα στην πράξη. Το παιδί δεν μαθαίνει μόνο όσα λες. Μαθαίνει και πώς αναπνέεις όταν εμφανίζεται το πρόβλημα, πόσο γρήγορα περιμένεις απάντηση ή τι μορφασμούς κάνεις όταν ακούς λάθος.
Σε άλλη έρευνα, το υψηλότερο "μαθηματικό άγχος" των εκπαιδευτικών συνδέθηκε με χαμηλότερη επίδοση μαθητών της ένατης τάξης. Μέρος της σχέσης περνούσε από την αντίληψη των μαθητών ότι ο καθηγητής τους δεν πίστευε πως όλοι μπορούσαν να βελτιωθούν στα μαθηματικά. Πάλι, η συσχέτιση δεν αποδεικνύει μια απλή μονόδρομη αιτία. Οι τάξεις είναι πιο μπερδεμένα πράγματα από αυτό. Αλλά οι προσδοκίες φαίνονται σε εκατό μικρές κινήσεις, όπως ποιον ρωτάς, σε ποιον δίνεις δεύτερο χρόνο, ποια λάθη συζητάς και ποια προσπερνάς με εκείνο το "εντάξει, ας δοκιμάσει κανείς άλλος" που καταλαβαίνουν όλοι.
Μια μεγάλη μετα-ανάλυση της Connie Barroso και των συνεργατών της, η οποία συγκέντρωσε αποτελέσματα από πολλές έρευνες, βρήκε σταθερή αρνητική σχέση ανάμεσα στο "μαθηματικό άγχος" και στην επίδοση. Η μετα-ανάλυση δεν μπορεί από μόνη της να μας πει προς ποια κατεύθυνση κινείται αυτή η σχέση. Πιθανότατα κινείται και προς τις δύο. Η δυσκολία γεννά άγχος. Το άγχος πιάνει χώρο στη σκέψη, κάνει την αποτυχία πιο οδυνηρή και σε σπρώχνει να αποφεύγεις την επόμενη επαφή με το αντικείμενο. Η αποφυγή αφήνει κενά. Τα κενά κάνουν την επόμενη άσκηση δυσκολότερη. Και κάπως έτσι αποκτάς έναν μικρό, πολύ αποτελεσματικό κύκλο που αναπαράγει το πρόβλημά του μόνος του.
Ο πατέρας μου κι εγώ δεν τσακωνόμασταν επειδή κάποιος από τους δυο μας είχε κακή πρόθεση. Είχαμε μπει σε αυτόν τον κύκλο και ο καθένας διάβαζε τη συμπεριφορά του άλλου με τον χειρότερο δυνατό τρόπο.
Τα μαθηματικά πριν τη φασίνα
Υπάρχει ένας ακόμη λόγος που οι μαθητές νομίζουν ότι οι καλοί στα μαθηματικά βλέπουν αμέσως τη λύση. Διότι αυτό ακριβώς τους δείχνουμε.
Το σχολικό βιβλίο έχει κάποια απόδειξη. Ξεκινά από τις σωστές παραδοχές, κάνει τις σωστές κινήσεις με τη σωστή σειρά και φτάνει εκεί που έπρεπε. Ο καθηγητής, αν έχει προετοιμαστεί καλά, κάνει περίπου το ίδιο στον πίνακα. Σπάνια βλέπεις τις τρεις ιδέες που απέτυχαν πριν βρεθεί η σωστή. Δεν βλέπεις το παράδειγμα που υποτίθεται ότι θα έλυνε τα πάντα και τελικά δεν έλυσε τίποτα. Δεν βλέπεις τη μισή σελίδα υπολογισμών που πετάχτηκε. Βλέπεις ένα δωμάτιο αφού κάποιος μάζεψε τα ρούχα από την καρέκλα και έσπρωξε ό,τι περίσσευε κάτω από το κρεβάτι.
Σήμερα τα μαθηματικά είναι η δουλειά μου. Αυτό που συμβαίνει όταν προσπαθούμε να λύσουμε ένα καινούργιο πρόβλημα έχει πολύ μικρή σχέση με αυτή την εικόνα της αλάνθαστης πορείας. Υπάρχουν συζητήσεις που δεν βγάζουν πουθενά, ορισμοί που αλλάζουν, παραδείγματα που δείχνουν ότι η ωραία ιδέα μας ήταν λάθος. Φυσικά υπάρχουν και στιγμές όπου κοιτάζεις κάτι που έγραψες χθες και αναρωτιέσαι ποιος μλκς το σκέφτηκε αυτό. Μετά θυμάσαι ότι ήσουν, αλλά τι να κάνεις; Συνεχίζεις. Εννοείται πως η τελική αυστηρότητα δεν είναι διακοσμητική. Η απόδειξη είναι αυτή που ξεχωρίζει το "χμ, μοιάζει να ισχύει" από το "ξέρουμε γιατί ισχύει". Επιτρέπει σε έναν άλλο άνθρωπο να ελέγξει το επιχείρημα, να βρει το κενό ή να χρησιμοποιήσει την ιδέα κάπου αλλού. Χωρίς τις αποδείξεις, τα μαθηματικά θα ήταν μια συλλογή από πολύ πειστικά vibes.
Ο William Thurston επέμενε, όμως, σε κάτι που χάνεται όταν ταυτίζουμε τα μαθηματικά με τις τελικές αποδείξεις. Ο πραγματικός σκοπός της μαθηματικής δουλειάς είναι να προχωρά η ανθρώπινη κατανόηση των μαθηματικών. Μια απόδειξη μπορεί να είναι σωστή και παρ' όλα αυτά να μη βοηθά σχεδόν κανέναν να δει τι συμβαίνει. Αντίστροφα, ένα καλό σχήμα, μια καινούργια αναπαράσταση ή ένας τρόπος να ονομάσεις το σωστό αντικείμενο μπορεί να αλλάξει τον τρόπο με τον οποίο μια ολόκληρη κοινότητα σκέφτεται ένα πρόβλημα. Αυτό δεν είναι κάποιο παράπονο ενός ρομαντικού εναντίον της αυστηρότητας. Είναι, νομίζω, περιγραφή του πώς δουλεύουν πραγματικά οι άνθρωποι. Για να καταλάβεις μια δύσκολη ιδέα, τη βλέπεις από περισσότερες από μία πλευρές. Κοιτάς τι γίνεται με μικρές περιπτώσεις του προβλήματος. Φτιάχνεις εικόνες. Τη συνδέεις με κάτι που ήδη ξέρεις. Ακούς κάποιον να την εξηγεί λίγο διαφορετικά και ξαφνικά μια απόδειξη που διάβαζες εδώ και δύο μέρες αποκτά νόημα.
Η τελική απόδειξη είναι, κατά κάποιον τρόπο, το τέλος της ταινίας. Είναι σημαντικό το τέλος. Χωρίς αυτό μπορεί να μην ξέρουμε καν αν η ιστορία στέκεται. Αν όμως δείξεις μόνο τα τελευταία τρία λεπτά, δεν μπορείς μετά να κατηγορείς τον θεατή επειδή δεν κατάλαβε τι γινόταν με τους χαρακτήρες της ιστορίας. Η αλήθεια είναι πως κι εμείς οι μαθηματικοί βοηθάμε συχνά να διατηρηθεί ο μύθος. Παρουσιάζουμε μια λύση αφού έχουμε σβήσει όλα τα ίχνη της αναζήτησης. Λέμε "είναι εύκολο να δει κανείς" για κάτι που μας πήρε τρεις μέρες να δούμε. Γράφουμε "προφανώς" στο σημείο όπου ο αναγνώστης αρχίζει να αμφισβητεί όλες τις αποφάσεις που τον έφεραν μέχρι εκεί. Μετά απορούμε γιατί ο υπόλοιπος κόσμος πιστεύει ότι τα μαθηματικά είναι κάτι δύσκολο και για "λίγους".
Το θέμα δεν είναι να δημοσιεύουμε μαζί με κάθε απόδειξη που βγάζουμε και το ημερολόγιο της ψυχικής μας κατάρρευσης. Είναι χρήσιμο όμως, ιδίως στη διδασκαλία, να φαίνεται ότι η καθαρή λύση είναι προϊόν φασίνας. Η σύγχυση δεν βρίσκεται έξω από τη μαθηματική διαδικασία· συνήθως βρίσκεται στην αρχή και αρκετές φορές στη μέση.
"Εγώ είμαι των τεχνών"
Ο διαχωρισμός ανάμεσα στους ανθρώπους "των τεχνών" και στους ανθρώπους "της λογικής" επιβιώνει επειδή κολακεύει και τις δύο πλευρές. Ο ένας παίρνει τη φαντασία, το συναίσθημα και την ελευθερία. Ο άλλος παίρνει την ακρίβεια, την ψυχραιμία και μια μαγική ικανότητα να συναρμολογεί έπιπλα από το ΙΚΕΑ χωρίς να περισσεύουν τρεις βίδες. Όλοι φεύγουν με μια μικρή ταυτότητα στην τσέπη.
Μόνο που η εικόνα είναι λάθος και για τις τέχνες και για τα μαθηματικά.
Ένας μουσικός δεν κάθεται απλώς περιμένοντας να τον χτυπήσει η έμπνευση. Μαθαίνει το όργανο, επαναλαμβάνει κλίμακες, ακούει δομές, δουλεύει τον ρυθμό και πετάει ιδέες που δεν λειτουργούν. Ένας ποιητής επιλέγει λέξεις μέσα σε περιορισμούς. Ένας σκηνοθέτης λύνει ταυτόχρονα τεχνικά, οικονομικά και αφηγηματικά προβλήματα. Η δημιουργία δεν εξαφανίζεται επειδή υπάρχουν κανόνες. Συχνά χρειάζεται τους κανόνες για να βρει κάτι πάνω στο οποίο να σπρώξει.
Και ο μαθηματικός δεν είναι κομπιουτεράκι με κακή κοινωνική ζωή. Πριν ελέγξει αυστηρά μια ιδέα, πρέπει να έχει κάποια ιδέα. Πρέπει να φανταστεί τι μπορεί να είναι αληθινό, να επιλέξει ποια περίπτωση αξίζει να κοιτάξει, να επινοήσει μια βοηθητική κατασκευή ή να βρει το αντιπαράδειγμα που σκοτώνει μια όμορφη εικασία. Η λογική δεν παράγει από μόνη της την κατεύθυνση. Ελέγχει αν η κατεύθυνση που διάλεξε η φαντασία οδηγεί κάπου ή πέφτει σε γκρεμό.
Υπάρχει βέβαια και η τεχνική. Κανείς δεν συνθέτει μουσική επειδή του είπαμε απλώς να είναι δημιουργικός, χωρίς να μάθει ποτέ πώς λειτουργεί το όργανο. Κανείς δεν αποδεικνύει θεώρημα επειδή του δώσαμε χρωματιστούς μαρκαδόρους και ασφαλή χώρο να εκφραστεί. Η δουλειά απαιτεί γνώσεις, επανάληψη, μνήμη και μερικές βαρετές ώρες. Το λάθος δεν είναι ότι ζητάμε πειθαρχία, αλλά ότι παρουσιάζουμε την πειθαρχία σαν ολόκληρο το νόημα και μετά χαρίζουμε τη δημιουργία μόνο σε όσους άντεξαν αρκετά χρόνια χωρίς να τη δουν.
Δεν θα αγαπήσουν όλοι τα μαθηματικά. Δεν αγαπούν όλοι τη ζωγραφική, το μπάσκετ ή τις ταινίες τρεισήμισι ωρών όπου ένας άντρας κοιτάζει τη θάλασσα, η οποία συμβολίζει το αμνιακό υγρό μέσα στο οποίο κυοφορείται το σύμπαν, ενώ τα κύματα συμβολίζουν τις συσπάσεις μιας κοσμικής γέννας. Οι άνθρωποι έχουν πραγματικές διαφορές στις κλίσεις και στις επιθυμίες τους. Το ελάχιστο που τους χρωστάμε είναι να γνωρίσουν το αντικείμενο προτού αποφασίσουν ότι το μισούν.
Πολλοί δεν το γνώρισαν ποτέ. Γνώρισαν φωτοτυπίες, βαθμούς, τύπους χωρίς ερωτήσεις, το βλέμμα του ενήλικου που δεν μπορεί να πιστέψει ότι ακόμη δεν κατάλαβες. Αν αυτό μισούν, ειλικρινά, τους καταλαβαίνω.
Στο μεταξύ, οι αριθμοί βγήκαν από την τάξη
Θα μπορούσε κάποιος να πει ότι όλα αυτά αφορούν το σχολείο. Τελείωσες, πέρασες τις εξετάσεις, ορκίστηκες ότι δεν θα ξαναλύσεις εξίσωση και προχώρησες με τη ζωή σου.
Μόνο που στο μεταξύ σχεδόν ολόκληρη η δημόσια ζωή γέμισε αριθμούς.
Ανοίγεις μια είδηση και ένας κίνδυνος έχει αυξηθεί κατά 200%. Ακούγεται τεράστιο. Μπορεί πράγματι να είναι. Μπορεί και όχι. Η σχετική αύξηση είναι 200%, όχι η απόλυτη. Χρειαζόμαστε και τα δύο νούμερα για να καταλάβουμε τι συνέβη. Ο τίτλος, για λόγους ανεξήγητους και σίγουρα άσχετους με τα κλικ, προτιμά συνήθως το πρώτο.
Μια κυβέρνηση λέει ότι αυξήθηκε ο μέσος μισθός. Ωραία. Ποιος μέσος; Αν δέκα άνθρωποι βγάζουν από 1.000 ευρώ και ένας ενδέκατος βγάζει 100.000, ο αριθμητικός μέσος της παρέας είναι 10.000 ευρώ. Οι δέκα μπορούν να κοιτάξουν τον λογαριασμό τους όσο θέλουν, τα υπόλοιπα εννέα χιλιάρικα δεν θα εμφανιστούν. Η διάμεσος, ο μισθός του ανθρώπου που βρίσκεται στη μέση όταν τους βάλουμε σε σειρά, παραμένει 1.000. Δεν υπάρχει ένας "σωστός" μέσος ανεξάρτητα από την ερώτηση. Υπάρχει ο αριθμός που φωτίζει αυτό που θέλουμε και εκείνος που αφήνει βολικά τα υπόλοιπα στο σκοτάδι.
Μια δημοσκόπηση δείχνει 53% απέναντι σε 47%. Αυτό μεταφράζεται αμέσως σε "η κοινωνία αποφάσισε". Αλλά πόσους ρώτησαν; Πώς τους βρήκαν; Ποιοι αρνήθηκαν να απαντήσουν; Πώς διατυπώθηκε η ερώτηση; Αν το περιθώριο δειγματοληπτικού σφάλματος είναι περίπου τρεις ποσοστιαίες μονάδες, το 53 δεν είναι μαγικός τοίχος ανάμεσα στη βεβαιότητα και στο χάος. Και το περιθώριο αυτό δεν καλύπτει καν κάθε πιθανό σφάλμα, όπως μια κακή επιλογή δείγματος ή μια ερώτηση που σπρώχνει προς συγκεκριμένη απάντηση.
Μια μελέτη βρίσκει ότι οι άνθρωποι που κάνουν κάτι έχουν συχνότερα ένα συγκεκριμένο πρόβλημα υγείας. Μέχρι το απόγευμα ο τίτλος γράφει ότι το πρώτο πράγμα "προκαλεί" το δεύτερο. Μπορεί. Μπορεί όμως οι δύο ομάδες να διαφέρουν ως προς την ηλικία, το εισόδημα, τις συνήθειες, την πρόσβαση σε γιατρό ή κάποιον τρίτο παράγοντα που δεν μετρήθηκε καλά. Η συσχέτιση είναι στοιχείο που χρειάζεται εξήγηση. Δεν έρχεται με την αιτία συσκευασμένη μέσα.
Ακόμη και ένα αρκετά καλό ιατρικό τεστ μπορεί να μας μπερδέψει αν αγνοήσουμε πόσο σπάνια είναι η πάθηση που ψάχνει. Ας πούμε, για να έχουμε καθαρούς αριθμούς, ότι μια πάθηση υπάρχει στο 1% του πληθυσμού και ένα τεστ εντοπίζει σωστά το 95% όσων την έχουν, αλλά βγαίνει επίσης θετικό στο 5% όσων δεν την έχουν. Σε 10.000 ανθρώπους, περίπου 100 θα έχουν την πάθηση και το τεστ θα βρει τους 95. Από τους άλλους 9.900, όμως, περίπου 495 θα πάρουν επίσης θετικό αποτέλεσμα. Άρα ανάμεσα στα 590 θετικά τεστ, μόνο τα 95 αντιστοιχούν πράγματι στην πάθηση: περίπου ένα στα έξι.
Το τεστ δεν ήταν ψεύτικο και τα μαθηματικά δεν απέτυχαν. Εμείς κάναμε λάθος ερώτηση. Ακούσαμε "95% ακριβές" και νομίζαμε ότι αυτό απαντά αυτομάτως στο "αν βγήκα θετικός, πόσο πιθανό είναι να έχω την πάθηση;". Δεν απαντάει σε αυτό. Χρειάζεται να ξέρουμε και πόσο συχνή ήταν η πάθηση πριν γίνει το τεστ.
Αυτός ο κόσμος των ποσοστών, των δειγμάτων και των μοντέλων δεν περιορίζεται στις ειδήσεις. Ένας αλγόριθμος αποφασίζει ποια βιογραφικά θα δει πρώτα ένας εργοδότης, εκτιμά τον κίνδυνο ενός δανείου, προτείνει τι θα εμφανιστεί στο feed ή βοηθά έναν γιατρό να ταξινομήσει μια εξέταση. Κάθε τέτοιο σύστημα κουβαλά επιλογές. Με ποια δεδομένα εκπαιδεύτηκε; Τι όρισε κάποιος ως επιτυχία; Ποιο λάθος κόστιζε περισσότερο κατά τον σχεδιασμό του; Έχει την ίδια επίδοση σε διαφορετικές ομάδες ανθρώπων ή ο ωραίος ενιαίος αριθμός κρύβει πολύ διαφορετικές αποτυχίες;
Αυτές είναι μαθηματικές ερωτήσεις, παρότι δεν εμφανίζεται πουθενά ένα x και κανείς δεν ζητά να βρούμε κάποιο εμβαδό. Η μαθηματική παιδεία σήμερα δεν είναι κυρίως να κάνεις πράξεις γρηγορότερα από το κινητό σου. Είναι να ξέρεις ποια πράξη απαντά στην ερώτηση, ποιες παραδοχές μπήκαν στο μοντέλο και ποιο συμπέρασμα δεν μπορείς να βγάλεις από τα διαθέσιμα δεδομένα.
Ο άνθρωπος που φοβάται τους αριθμούς είναι εύκολος στόχος για όποιον τους κουνά μπροστά του με αυτοπεποίθηση. Το ίδιο και ο άνθρωπος που τους λατρεύει. Ένα ποσοστό με δύο δεκαδικά ψηφία και ένα μπλε γράφημα δεν είναι η αντικειμενική αλήθεια που κατέβασε ο Μωυσής από το βουνό. Μερικές φορές είναι μια γνώμη που έβαλε αποκριάτικη στολή. Άλλες φορές είναι σοβαρή δουλειά, αλλά χρειάζεται να ξέρεις αρκετά ώστε να δεις τη διαφορά.
Θα ήταν όμως λίγο θλιβερό να υπερασπιστούμε τα μαθηματικά μόνο επειδή μας προστατεύουν από κακούς τίτλους, αλγορίθμους και βλαμμένους με podcast. Θα επαναλαμβάναμε το ίδιο λάθος με πιο σύγχρονο λεξιλόγιο: θα λέγαμε ότι τα μαθηματικά αξίζουν μόνο επειδή είναι χρήσιμα κάπου αλλού, επειδή η αγορά θέλει STEM, επειδή αυξάνουν τον μισθό ή επειδή κάθε παιδί πρέπει να ιδρύσει startup προτού πέσουν τα μωρουδιακά του δόντια.
Τα μαθηματικά αξίζουν και για τον ίδιο λόγο που αξίζει ένα παιχνίδι, ένα τραγούδι ή μια ιστορία. Επειδή οι άνθρωποι βρίσκουν μέσα τους ομορφιά και χώρο να κινηθούν. Μπορείς να επινοήσεις έναν κόσμο με λίγους κανόνες και να δεις τι ακολουθεί αναγκαστικά. Να ρωτήσεις αν υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, γιατί ορισμένες συμμετρίες επανέρχονται ή πώς αλλάζει ένα παιχνίδι αν πειράξεις έναν μόνο κανόνα. Δεν χρειάζεσαι εργαστήριο εκατομμυρίων. Χρειάζεσαι χρόνο, περιέργεια και την άδεια να μείνεις λίγο μέσα στη σύγχυση χωρίς κάποιον να σε πρήζει ότι τελειώνει ο χρόνος.
Ένα λιγότερο κακό μάθημα
Πιθανή παρεξήγηση: αν η μηχανική αποστήθιση είναι κακή, τότε ας αφήσουμε τα παιδιά να ανακαλύψουν τα πάντα μόνα τους. Ορίστε ένα θεώρημα, σαράντα λεπτά, ένα μολύβι και πίστη στον εαυτό σου. Καλή τύχη.
Η έρευνα για τη μάθηση δεν υποστηρίζει την ιδέα ότι η εντελώς αστήρικτη ανακάλυψη (discovery) είναι η καλύτερη λύση. Μια μετα-ανάλυση του Louis Alfieri και των συνεργατών του βρήκε ότι η ανακάλυψη χωρίς καθοδήγηση υστερούσε σε σχέση με τη ρητή διδασκαλία, ενώ οι μορφές ανακάλυψης που περιλάμβαναν καθοδήγηση, ανατροφοδότηση, παραδείγματα και κατάλληλες υποδείξεις είχαν κατά μέσο όρο καλύτερα αποτελέσματα από τις άλλες μορφές διδασκαλίας με τις οποίες συγκρίθηκαν. Άρα αυτό που μας ενδιαφέρει εδώ δεν είναι απλώς η ανακάλυψη. Είναι η καθοδηγούμενη ανακάλυψη.
Αυτό έχει πολύ μεγάλη σημασία και για τις ανισότητες. Το παιδί που έχει χρόνο, ήσυχο χώρο, αυτοπεποίθηση και κάποιον διαθέσιμο να βοηθήσει μπορεί να περιπλανηθεί δημιουργικά για αρκετή ώρα. Το παιδί που έχει ήδη μάθει ότι κάθε μπέρδεμα είναι προσωπική αποτυχία μπορεί απλώς να χαθεί. Αν ο δάσκαλος αρνηθεί να δώσει στήριξη στο όνομα της ελευθερίας, τη στήριξη θα την αγοράσουν ή θα την προσφέρουν οι οικογένειες που μπορούν.
Η καλή διδασκαλία δεν εξαφανίζει τον δάσκαλο. Του δίνει πιο δύσκολη δουλειά. Πρέπει να επιλέξει ένα πρόβλημα που έχει κάτι να αποκαλύψει, να αφήσει χρόνο για δοκιμή, να καταλάβει πότε μια αποτυχημένη ιδέα αξίζει να συζητηθεί και πότε ο μαθητής χρειάζεται μια συγκεκριμένη υπόδειξη για να μην πνιγεί. Πρέπει επίσης κάποια στιγμή να εξηγήσει καθαρά, να δώσει όνομα σε όσα εμφανίστηκαν και να οργανώσει τη γνώση ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ξανά.
Το τρίγωνο μέσα στο ορθογώνιο θα μπορούσε να γίνει ένα τέτοιο μάθημα. Αρχίζεις με το σχήμα και την ερώτηση. Τα παιδιά μετακινούν την κορυφή, μετρούν, κόβουν χαρτί, κάνουν εικασίες. Κάποιος πιστεύει ότι το εμβαδόν αλλάζει όταν η κορυφή πάει προς τη γωνία. Ωραία. Δεν λέμε απλώς "μαλάκια είπες". Ψάχνουμε τι μένει σταθερό και ποια μέτρηση θα ξεχώριζε τις δύο υποθέσεις. Αν κανείς δεν βρει τη βοηθητική γραμμή, ο δάσκαλος μπορεί να ρωτήσει αν γίνεται να χωρίσουμε το σχήμα σε γνωστά κομμάτια. Δεν χρειάζεται να περιμένει μέχρι να βγάλουν άσπρες τρίχες.
Όταν η γραμμή εμφανιστεί, η απόδειξη έχει πλέον λόγο ύπαρξης. Δεν τη γράφουμε επειδή το βιβλίο έχει ένα γκρι κουτί με τίτλο "Θεώρημα" και πρέπει κάτι να βάλουμε εκεί. Θέλουμε να ξέρουμε αν η παρατήρηση ισχύει για κάθε θέση της κορυφής και όχι μόνο για τα τρία σχήματα που δοκιμάσαμε. Μετά έρχεται ο τύπος και συμπυκνώνει αυτό που είδαμε. Και μετά, ναι, λύνουμε ασκήσεις. Δεν θα πάθει τίποτα κανείς.
Η τεχνική χρειάζεται. Οι βασικές πράξεις πρέπει κάποτε να γίνονται χωρίς να καταναλώνουν όλη τη διαθέσιμη προσοχή. Οι κλίμακες βοηθούν τον μουσικό να παίξει, αρκεί να υπάρξει κάποτε και μουσική. Το πρόβλημα αρχίζει όταν κάθε μάθημα είναι κλίμακες και υποσχόμαστε στα παιδιά ότι, αν αντέξουν μέχρι τα δεκαοκτώ, ίσως ακούσουν τραγούδι στο πανεπιστήμιο.
Πρέπει να αλλάξει και αυτό που μετράμε. Όσο η εξέταση ανταμείβει κυρίως την αναγνώριση γνωστών τύπων ασκήσεων κάτω από την πίεση του χρόνου, καθηγητές και μαθητές θα προσαρμόζονται σε αυτό. Δεν έχει μεγάλη σημασία πόσες φορές γράφει το πρόγραμμα σπουδών "κριτική σκέψη". Αν στο τέλος οι μονάδες δίνονται για πέντε προβλέψιμες λύσεις σε σαράντα πέντε λεπτά, εκεί θα πάει το μάθημα. Η ταχύτητα λέει κάτι, αλλά δεν λέει τα πάντα. Ένας μαθητής μπορεί να αργεί επειδή δεν καταλαβαίνει. Μπορεί όμως να αργεί επειδή ελέγχει μια ιδέα, επειδή ψάχνει δεύτερο δρόμο ή επειδή προσπαθεί να εξηγήσει γιατί η μέθοδος δουλεύει. Η σωστή απάντηση μετρά. Μετρά επίσης αν η λύση θα επιβίωνε όταν αλλάζαμε λίγο τα δεδομένα και αν ο μαθητής μπορεί να διακρίνει ένα πραγματικό επιχείρημα από μια ακολουθία συμβόλων που απλώς κατέληξε τυχαία στο σωστό νούμερο.
Τι μπορούμε να κάνουμε μέχρι τότε
Δεν πρόκειται να αλλάξουμε αύριο το πρωί τα προγράμματα, τις εξετάσεις, τα βιβλία, την εκπαίδευση των δασκάλων και ολόκληρη τη σχέση μας με την αποτυχία. Μπορούμε όμως να σταματήσουμε να ρίχνουμε λάδι σε μερικές πολύ συγκεκριμένες φωτιές.
Όταν ένα παιδί κολλάει, δεν χρειάζεται να γεμίσουμε αμέσως τη σιωπή με την ίδια εξήγηση, αυτή τη φορά πιο δυνατά. Μπορούμε να ρωτήσουμε τι κατάλαβε, τι δοκίμασε και σε ποιο ακριβώς σημείο χάθηκε. Το "δεν ξέρω" δεν είναι πάντα τεμπελιά. Μερικές φορές σημαίνει ότι το παιδί δεν έχει ακόμη λέξεις για το πρόβλημα. Αυτές οι λέξεις είναι μέρος αυτού που πρέπει να μάθει.
Όταν η ιδέα του είναι λάθος, έχουμε επιτέλους κάτι ενδιαφέρον να συζητήσουμε. Γιατί φαινόταν σωστή; Σε ποια παραδείγματα δουλεύει; Ποιο είναι το μικρότερο παράδειγμα που τη διαψεύδει; Το λάθος δεν χρειάζεται να γίνει γιορτή αυτοεκτίμησης. Είναι λάθος και πρέπει να διορθωθεί. Αλλά μπορεί να διορθωθεί ως σκέψη, όχι απλώς να σβηστεί ως λεκές. Καλό θα ήταν επίσης να απαγορεύσουμε για κάνα χρόνο τη φράση "εγώ δεν είμαι των μαθηματικών". Όποιος επιμένει θα πληρώνει πρόστιμο ίσο με ένα κλάσμα του μισθού του. Το κλάσμα θα το υπολογίζει μόνος του. Και κάθε φορά που μια είδηση (ή κάποιος συμφορουμίτης) ανακοινώνει αύξηση 200%, ας γίνουμε για λίγο εκείνος ο κουραστικός άνθρωπος και ας ρωτήσουμε "από πόσο σε πόσο;". Όταν μια έρευνα "αποδεικνύει" κάτι, ας ρωτήσουμε ποιον μέτρησε και τι ακριβώς βρήκε. Όταν ένας μαθηματικός γράφει "προφανώς", ας πέσουν φάπες.
Το βασικό, πάντως, είναι άλλο. Να σταματήσουμε να παρουσιάζουμε το μπέρδεμα ως απόδειξη ανικανότητας. Το μπέρδεμα δεν είναι από μόνο του βαθιά σκέψη. Μερικές φορές δεν ακούσαμε την εκφώνηση. Μερικές φορές λείπει μια βασική γνώση και πρέπει να γυρίσουμε πίσω. Αλλά αν ξέρεις εξαρχής ακριβώς ποια βήματα θα κάνεις και γιατί θα πετύχουν, δεν λύνεις πρόβλημα. Έτσι φτιάχνεις και αρνάκι στο φούρνο· μια συνταγή είναι. Η μαθηματική σκέψη χρειάζεται ένα διάστημα στο οποίο δεν ξέρεις ακόμη.
Ο δάσκαλος εκείνου του καλοκαιριού δεν μου χάρισε κάποια μυστική ικανότητα. Δεν άλλαξε τον εγκέφαλό μου και δεν ακύρωσε όλα τα βαρετά κομμάτια της δουλειάς. Μου έδειξε ότι πίσω από τους κανόνες υπήρχαν ερωτήσεις και πίσω από τις λύσεις υπήρχαν άνθρωποι που κάποτε δεν ήξεραν τη λύση. Αυτό ήταν το πρώτο σημείο στο οποίο τα μαθηματικά έπαψαν να μοιάζουν με κλειστό κλαμπ "έξυπνων" ανθρώπων.
Δεν θα αγαπήσουν όλοι τα μαθηματικά. Και δεν χρειάζεται. Ας φροντίσουμε μόνο, πριν τα απορρίψουν, να έχουν συναντήσει κάτι περισσότερο από το εκπαιδευτικό τους κουφάρι.
Πηγές
- Paul Lockhart, A Mathematician’s Lament (https://worrydream.com/refs/Lockhart_20 ... Lament.pdf).
- William P. Thurston, On Proof and Progress in Mathematics (https://arxiv.org/abs/math/9404236), Bulletin of the American Mathematical Society 30(2), 1994.
- Erin A. Maloney et al., Intergenerational Effects of Parents’ Math Anxiety on Children’s Math Achievement and Anxiety (https://journals.sagepub.com/doi/10.117 ... 7615592630), Psychological Science 26(9), 2015.
- Gerardo Ramirez et al., Teacher Math Anxiety Relates to Adolescent Students’ Math Achievement (https://journals.sagepub.com/doi/10.117 ... 8418756052), AERA Open 4(1), 2018.
- Connie Barroso et al., A Meta-Analysis of the Relation Between Math Anxiety and Math Achievement (https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC8300863/), Psychological Bulletin 147(2), 2021.
- Louis Alfieri et al., Does Discovery-Based Instruction Enhance Learning? (https://doi.org/10.1037/a0021017), Journal of Educational Psychology 103(1), 2011.
[^1]: Αυτή είναι ιστορία για άλλη φορά.
[^2]: Δυστυχώς δεν έχω ιδέα ούτε από μουσική ούτε από μουσική εκπαίδευση. Ελπίζω ο παραλληλισμός που θέλω να κάνω να στέκει.
). Νομίζω αναλύθηκε ήδη αρκετά αλλά είναι συνδυασμός των καθηγητών που δεν θέλουν ή δεν έχουν και τον χρόνο να εξηγήσουν κάποια πράγματα πιο αναλυτικά και της πίεσης να βγει η ύλη.
BasketForum – Ιστορικό Αρχείο